Thursday, 29 October 2009

MATEMATIK: IQ ATAU ESQ?

UCAPUTAMA SEMINAR MATEMATIK UPSI (31 Oktober 2009 -9.30 pagi, Dewan Kuliah K)



ISU PENDIDIKAN MATEMATIK: PERSOALAN IQ ATAU ESQ?

Mat Rofa Ismail
Jabatan Matematik, UPM
mrofa@yahoo.com


Abstrak


IQ ialah singkatan Inteligent Quotient atau manakala ESQ pula singkatan Emotional and Spiritual Quotient. Biasanya, kedua-dua nisbah itu dibincangkan dalam domain ilmu yang berasingan. Dalam makalah ini, pengarang mencadangkan kedua-dua aspek tersebut dijelmakan dalam proses pengajaran dan pembelajaran di negara ini, khususnya dalam bidang matematik. Rasional penyatuan kedua-dua aspek tersebut diberikan. Pandangan peribadi penulis tentang persoalan ini diakhiri dalam bentuk bicarawara ilmiah. Para pembaca diminta untuk memberi ulasan ikhlas terhadap gagasan ini.



Pendahuluan

Apakah hubungan matematik dengan metafizik atau ketuhanan? Keimanan kepada Tuhan mempunyai kaitan dengan seluruh kehidupan masyarakat, khususnya dalam konteks kehidupan seorang Muslim. Kehidupan seorang Islam adalah penghayatan seluruh maksud keimanan kepada Ilahi dalam konteks ibadat dan aktiviti hariannya. Bahkan seluruh kehidupan Muslim dikawal oleh keimanan serta prinsip Tauhid yang menjadi paradigma seluruh kegiatannya. Maka konsep ini haruslah dijelmakan pula dalam dasar pendidikan negara. Memang benar betapa ungkapan kesepaduan tersebut terungkap indah dalam Falsafah Pendidikan Negara yang membuat penekanan khusus ke arah kesepaduan iman dan ilmu, kesepaduan rohani dan jasmani, kesepaduan emosi dan intelek. Perhatikan matlamat pendidikan seperti dalam ungkapan yang tertera di bawah:

“Pendidikan di Malaysia adalah usaha berterusan ke arah memperkembangkan lagi potensi individu secara menyeluruh dan bersepadu untuk mewujudkan insan yang seimbang dan harmonis dari segi intelek, rohani, emosi, dan jasmani berdasarkan “kepercayaan dan kepatuhan kepada Tuhan”.

Usaha ini adalah bagi melahirkan rakyat Malaysia yang berilmu pengetahuan, “berakhlak mulia”, bertanggungjawab, dan berkeupayaan mencapai kesejahteraan diri serta memberi sumbangan terhadap keharmonian dan kemakmuran masyarakat”.

Ungkapan “…berdasarkan kepercayaan dan kepatuhan kepada Tuhan” dalam Falsafah Pendidikan Negara telah memberi ruang yang cukup baik untuk perkembangan kurikulum agar kedua-dua aspek intelek dan etika dibina secara sepadu di atas paksi keimanan, untuk melahirkan pelajar yang mempunyai kesepaduan akhlak dan ilmu berdasar kepada aspek kepatuhan kepada Tuhan. Adakah pada hakikatnya hasrat ini dilakukan penuh kesungguhan ke arah melahirkan pelajar beriman, bertakwa yang cemerlang dalam matematik? Atau sekadar slogan atau retorik yang hanya tertulis di halaman akhir buku rampaian pelajar atau di dinding sekolah semata-mata yang falsafahnya tidak diambil kira dalam proses pengajaran?
Adakah pengajaran matematik di institusi pendidikan tinggi negara turut menyokong hasrat kesepaduan iman dan intelek seperti pendekatan yang dinyatakan dalam falsafah pendidikan yang unggul itu? Universiti di negara ini secara teorinya menyetakan hasrat yang sama dengan falsafah tersebut ke arah melahirkan pelajar yang menjunjung tinggi nilai ketakwaan dalam pendidkannya. Marilah kita hayati falsafah Universiti Kebangsaan Malaysia, misalnya yang menyatakan:

“Paduan antara iman kepada Allah dan ilmu yang bermanfaat serta gabungan antara teori dan amalan adalah dasar utama bagi perkembangan ilmu, proses pembinaan masyarakat terpelajar dan pembangunan universiti”.

Kesepaduan antara iman dan ilmu menjadi matlamat utama universiti tersebut. Namun, pada hakikatnya, adakah pengajaran maetmatik di universiti tersebut (dan universiti lain di Malaysia) membantu pelajarnya menjadi ilmuwan yang bertakwa setelah menyempurnakan semua kurikulum wajib pengajian?
Hakikatnya sebenarnya, matematik yang diajar di universiti tempatan tiada bezanya dengan kurikulum matematik yang diajar di Eropah atau Amerika. Kurikulum ini secara tradisinya memisahkan aspek metafizik ketuhanan daripada akademik. Matematik dianggap ilmu yang bebas nilai. Bahkan persoalan metafizik dianggap tiada hubungan langsung dengan pendidikan matematik seperti yang diagambarkan dalam falsafah logikisme, formalisme, konstruktivisme atau kelakuannisme. Ini bermakna kesepaduan yang dinyatakan dalam falsafah tersebut hanyalah sekadar retorik, andainya landasan matematik yang sama diamalkan dalam pendidikan matematik di negara ini.
Hakikat matematik yang dibina secara tanpa sistem nilai dalam epistemologi matematik Barat turut menjelma kembali dalam kurikulum matematik universiti tempatan tanpa sebarang penyaringan. Perkara ini bertentangan dengan fakta sejarah pembinaan matematik Eropah dalam kurun ke-15 yang silam apabila mereka mempelajari matematik tamadun Islam. Ilmuwan skolastikisme menyaring kembali system nilai Islam yang terdapat dalam matematik dan sains lalu memberi system nilai yang baru kepada sains matematik yang berkembang di Eropah. Ringkasnya, Eropah tidak mengambil sepenuhnya matematik Islam tetapi menapis dan menganalisis ilmu berkenaan agar sesuai dengan budaya Eropah. Itulah sebabnya, unsure ketuhanan, fiqh, dan kuantitatif yang berkaitan dengan nilai Islam telah dipadamkan sama sekali sebelum matematik dijelmakan dalam masyarakat Eropah.
Sesuai dengan falsafah pendidikan negara yang menekankan aspek kesepaduan ilmu, maka matematik bebas nilai yang dikembangkan di Barat bercanggah dengan aspirasi tersebut. Konsep kesepaduan intelek dan iman dinafikan dalam matematik Barat. Paradigma dualisme matematik-sistem nilai Barat diperluaskan pula dalam kurikulum di negara ini yang memerlukan penapisan kembali agar Malaysia memnghasilkan kurikulum acuan sendiri yang menggabungkan keempat-empat unsur jasmani, emosi, rohani dan intelek seperti yang digariskan oleh falsafah pendidikan negara.


Guru Matematik Malaysia dan Fahaman Logikisme?

Satu kajian pernah dilakukan oleh Institut Penyelidikan Matematik (Inspem), Universiti Putra Malaysia berkaitan dengan amalan dan kepercayaan guru peringkat sekolah menengah negara ini dalam pendidikan matematik. Responden kajian terdiri daripada 1560 orang guru yang mengajar mata pelajaran matematik di sekolah menengah di Malaysia. Daripada jumlah responden ini, 986 orang (63.2%) terdiri daripada guru perempuan dan 516 orang (33.1%) guru lelaki. Dari segi bangsa, 66.7% responden berbangsa Melayu, 23.3% responden berbangsa Cina dan 1.7% responden berbangsa India. Dengan ihsan kumpulan penyelidik, diperturunkan sebahagian data kajian tersebut yang melibatkan sikap dan respons guru fahaman logikisme, formalisme, intuisisme dan Kuhnisme.[1]
Berdasarkan 5 item yang bertujuan meneliti sejauhmana kepercayaan guru terhadap nilai matematik yang tergolong dalam fahaman logikisme, didapati min keseluruhannya ialah 3.68 dengan sisihan piawai 0.50. Ini menunjukkan kepercayaan guru terhadap fahaman logikisme adalah sederhana tinggi. Item ke-5 menunjukkan min tertinggi iaitu 4.44 di mana seramai 1442 orang guru (92.4%) bersetuju bahawa matematik adalah satu ilmu yang logik. Manakala min terendah didapati daripada item 7 (Matematik adalah satu bidang ilmu yang kering emosi). Min yang didapati daripada item ini ialah 2.75 dengan sisihan piawai 0.97. Ini menunjukkan matematik sebagai ilmu yang kering emosi adalah kurang diterima oleh responden kajian ini. Berikut adalah jadual yang menunjukkan taburan frekuensi, min dan sisihan piawai bagi kepercayaan guru terhadap nilai matematik berdasarkan fahaman logikisme.


Jadual 1: Taburan frekuensi, min dan sisihan piawai bagi fahaman logikisme

Item
Tidak Setuju
Kurang Setuju
Setuju

Min
Sisihan Piawai
1. Matematik adalah ilmu yang logik
10
(0.7%)
51
(3.3%)
1442
(92.4%)
4.44
0.61
2. Matematik dipenuhi dengan tatacara penyelesaian
20
(2.2%)
123
(8.2%)
1409
(90.4%)
4.30
0.68
3. Matematik adalah satu bidang ilmu yang kering emosi
527
(35.3%)
684
(45.8%)
283
(18.9%)
2.75
0.97
4. Jawapan akhir adalah matlamat terpenting dalam penyelesaian matematik
377
(25%)
567
(37.7%)
559
(37.2%)
3.15
1.11
5. Semua penyelesaian matematik boleh dicapai dengan berfikir secara logik
119
(7.9%)
382
(24.5%)
1001
(66.7%)
3.76
0.88
__
n = 1560 X = 3.68 SP = 0.50

Bagi fahaman formalisme, didapati tahap kepercayaan guru terhadap nilai matematik berunsurkan formalisme adalah sederhana tinggi (Min = 3.97 dan SP = 0.48). Secara keseluruhannya, dapatan kajian menunjukkan bahawa guru matematik percaya matematik adalah ilmu yang paling istimewa berbanding dengan ilmu-ilmu lain bagi item 5 dengan min tertinggi 4.25 dan sisihan piawai 0.77. Namun, mereka kurang percaya bahawa Matematik adalah ilmu yang abstrak (item 3). Min terendah yang diperoleh oleh item ini ialah 3.49 dengan sisihan piawai 0.92. Jadual 3 menunjukkan taburan frekuensi, min dan sisihan piawai bagi niali matematik bagi fahaman formalisme.

Jadual 2: Taburan frekuensi, min dan sisihan piawai bagi fahaman formalisme

Item
Tidak Setuju
Kurang Setuju
Setuju

Min
Sisihan Piawai
1. Matematik adalah
perumusan masalah dalam
bentuk simbol
61
(4.1%)
313
(20.9%)
1127
(75.1%)
3.85
0.72
2. Matematik adalah ilmu
paling istimewa
berbanding ilmu-ilmu lain
34
(2.2%)
169
(11.2%)
1301
(86.5%)
4.25
0.77
3. Matematik adalah ilmu
yang abstrak
182
(12.1%)
554
(36.9%)
766
(51%)
3.49
0.92
4. Kebenaran ilmu matematik
bersifat pasti
25
(1.6%)
152
(10.1%)
1322
(88.2%)
4.18
0.70
5. Matematik adalah ilmu
tentang manipulasi pelbagai
formula
39
(2.6%)
176
(11.7%)
1291
(85.7%)
4.06
0.68
__
n = 1560 X = 3.97 SD = 0.48

Bagi nilai fahaman intuisisme, min sederhana tinggi diperoleh. Ini menunjukkan guru mempunyai kepercayaan yang sederhana tinggi terhadap fahaman intuisisme dengan min 3.74 dan sisihan piawai 0.54. Secara keseluruhannya, bagi fahaman intuisisme ini min tertinggi diperoleh bagi item 3, (Hukum matematik boleh dihasilkan melalui celik akal manusia) dengan min 4.08 dan sishan piawai 0.66. Seramai 1336 orang guru (85.6%) bersetuju, 132 orang (8.5%) kurang setuju dan hanya 37 orang (2.4%) tidak setuju dengan item tersebut. Manakala, item yang mendapat persetujuan yang terendah ialah item 2, (min = 3.26, SP = 0.87). Ini menunjukkan responden kurang setuju terhadap matematik adalah ilmu yang berkait dengan perasaan dalaman (gerak hati). Jadual 4 menunjukkan taburan frekuensi, min dan sisihan piawai nilai matematik bagi fahaman intuisisme.


Jadual 3: Taburan frekuensi, min dan sisihan piawai bagi fahaman intuisisme

Item
Tidak Setuju
Kurang Setuju
Setuju

Min
Sisihan Piawai
1. Matematik adalah aktiviti
yang menggabungkan gerak
hati dan minda
83
(5.3%)
300
(19.2%)
1118
(71.7%)
3.89
0.82
2. Matematik adalah ilmu yang
berkait dengan perasaan
dalaman (gerak hati)
235
(15.1%)
685
(43.9%)
581
(37.3%)
3.25
0.87
3. Hukum matematik boleh
dihasilkan melalui celik akal
manusia (intuism)
37
(2.4%)
132
(8.5%)
1336
(85.6%)
4.08
0.66
4. Aktiviti bermatematik
merupakan aktiviti yang bersifat dalaman bagi seseornag individu
123
(7.9%)
527
(33.8%)
847
(54.3%)
3.55
0.77
5. Penyelesaian sesuatu
masalah matematik adalah satu proses yang tidak terbatas.
42
(22.7%)
308
(19.7%)
1149
(73.7%)
3.93
0.72
__
n = 1560 X = 3.74 SD = 0.54


Berdasarkan dapatan kajian, didapati tahap kepercayaan guru matematik terhadap fahaman kuhnisme adalah tinggi. Ini dibuktikan dengan min keseluruhan yang diperolehi ialah 4.06 dengan sisihan piawai 0.48. Berdasarkan item fahaman Kuhnisme, item yang menunjukkan min tertinggi ialah item ke 20. Min item 1 ialah 4.48 dengan sisihan piawai 0.61 yang menunjukkan bahawa responden setuju bahawa matematik adalah ilmu universal tanpa mengira sempadan. Manakala, min terendah didapati daripada item 6 (matematik ialah ilmu yang berkait dengan budaya). Min yang didapati dari item ini ialah 3.48 dengan sisihan piawai 0.82. Ini menunjukkan responden kurang setuju terhadap fahaman kuhnism yang menyatakan matematik ialah ilmu yang berkait dengan budaya. Berikut adalah jadual yang menunjukkan taburan frekuensi, min dan sisihan piawai bagi kepercayaan guru terhadap nilai matematik berdasarkan fahaman kuhnisme.


Jadual 4: Taburan frekuensi, min dan sisihan piawai bagi fahaman Kuhnisme

Item
Tidak Setuju
Kurang Setuju
Setuju

Min
Sisihan Piawai
1. Matematik adalah ilmu universal tanpa mengira sempadan
11
(0.7%)
51
(3.3%)
1444
(92.5%)
4.48
0.61
2. Matematik bertujuan membolehkan manusia memahami alam semesta
(universe)
17
(1.1%)
181
(11.6%)
1306
(83.7%)
4.18
0.68
3. Matematik adalah satu cabang seni
67
(4.3%)
226
(14.5%)
1213
(77.7%)
3.99
0.79
4. Perkembangan matematik
dipengaruhi oleh tamadun sesuatu masyarakat
24
(1.5%)
116
(7.4%)
1362
(87.3%)
4.21
0.66
5. Hukum alam semesta boleh
dirumus melalui matematik
42
(2.7%)
246
(15.8%)
1215
(77.9%)
3.99
0.73
6. Matematik ialah ilmu yang berkait dengan budaya
145
(9.3%)
577
(37%)
781
(50.1%)
3.48
0.82
__
n = 1560 X = 4.06 SD = 0.48

Secara keseluruhannya, berdasarkan dapatan kajian, kebanyakkan responden mempunyai persepsi yang tinggi terhadap fahaman Kuhnisme berbanding fahaman yang lain; iaitu min 4.06 dengan sisihan piawai 0.48. Namun hasil ini hanya menggambarkan kepercayaan mereka semata-mata terhadap matematik, yang bukan dijelmakan ke dalam pengajaran. Dalam pengajaran para pendidik masih mengekalkan pendekatan formalisme yang memisahkan matematik dariapada sistem nilai, apatah lagi yang berkaitan dengan emosi dan kerohanian.
Kumpulan penyelidik Inspem tersebut mendapati bahawa fahaman matematik yang kurang mendapat persetujuan ialah fahaman logikisme; iaitu min keseluruhan 3.68 dengan sisihan piawai 0.50. Ini menunujukkan guru kurang setuju bahawa matematik ialah ilmu yang logik dan dipenuhi dengan tatacara penyelesaian. Guru juga kurang setuju bahawa semua penyelesaian matematik boleh dicapai dengan berfikir secara logik. Namun seolah-olah ada kecenderungan para guru yang melihat Kuhnisme lebih sesuai untuk dijadikan pendekatan mereka. Inilah yang ditunjukkan dalam kajian selidik tersebut.

Jadual 5: Perbandingan fahaman matematik berdasarkan purata min dan purata sisihan piawai.

Sub Bahagian
Purata Min
Purata Sisihan Piawai
Logikisme
3.68
0.50
Formalisme
3.97
0.48
Intuisisme
3.74
0.54
Kuhnisme
4.06
0.48


Sama ada guru memilih pendekatan formalisme, logikisme atau intuisisme, satu tabii sepunya pemilihan tersebut melambangkan matematik tanpa sistem nilai menjadi amalan guru di peringkat sekolah. Ini secara jelas bercanggah dengan Falsafah Pendidikan Negara yang menjadikan kesepaduan antara unsur intelek dengan unsur keohanian. Fahaman tersebut pada hakikatnya bernaung di bawah fahaman positivisme yang menafikan unsur kualitatif dalam ujikaji emperikal sains. Kumpulan tersebut menolak semua unsur bukan kuantitatif yang terdapat dalam sains atau matematik. Dalam pendidikan misalnya, kumpulan positivisme menentukan agar semua hasil pembelajaran atau learning outcome agar berbentuk indeks yang boleh disukat secara kuantitatif semata-mata. Amalan ini secara tersurat atau tersirat bercanggah dengan intisari Falsafah Pendidikan Negara pada tahap yang paling asas.
Perlu diingati bahawa pengasas logikisme yakni Bertrand Russell atau pengasas formalisme yakni Hilbert kedua-duanya menolak ketuhanan dalam sebarang pendekatan ilmiah. Ayres yang mengasas positivisme pula pendokong ateisme yang ingin membawa penganut aliran tersebut kepada sains tanpa keimanan sama sekali. Pendekatan formalisme-positivisme pada hakikatnya berhasrat untuk membina keinteletualan IQ pelajar secara terpisah daripada unsur kerohanian ESQ sama sekali.[2]


Matematik Bebas Nilai: Kemelut Sekularisme Barat

Barat memisahkan ilmu daripada gereja lantas memisahkan aspek intelek daripada sistem nilai. Eropah mengamalkan falsafah dualisme dan pemisahan antara intelek dan sistem nilai. Mereka menafikan sebarang sistem nilai dalam matematik dan sains. Kajian sains matematik hanya ditumpukan kepada aspek kuantitatif semata-mata. Aspek kualitatif dinafikan supaya sains dan matematik menjadi ilmu emperikal berbentuk teori atau emperikal yang boleh dianalisis dengan model atau fungsi matematik. Hanya matematik ilmu yang benar mengikut fahaman ini. Sains dikaitkan dengan ilmu yang mempunyai unsur maetmatik. Status sains diukur dengan pemberat unsur matematik yang terlibat dalam ilmu berkenaan. Dalam skema ini, fizik misalnya menduduki status sains yang tinggi kerana bidang ini mempunyai banyak penggunaan unsur matematik.
Kegemilangan matematik Eropah berlaku menjelang kurun ke-20. Tokoh utama Barat seperti Frege, Hilbert, Russell, Godell, Brouwer, dan Northwhitehead mencari landasan baru matematik berdasar pemikiran sekularisme total agar matematik hanya ditakrifkan untuk menyokong pandangan positivisme yang menafikan seluruh sistem nilai dalam sains dan matematik. Logikisme yang diasaskan Russell atau formalisme yang diasas Hilbert merupakan contoh penolakan sebarang sistem nilai dalam matematik dualisme Barat.
Fahaman logikisme dan formalisme pada dasarnya berkembang daripada fahaman positivisme yang menafikan semua aspek kualitatif dan matafizik dalam sains. Kumpulan positivisme menjadi kumpulan yang paling berpengaruh dalam kurun ke-20 dalam kajian sains fundamental termasuk matematik. Kumpulan ini berpusat di Viena, justeru dikenali sebagai Kumpulan Viena (Viena Cirle). Ketika itu, fizik kuantum menjadi tema utama pemikiran yang cuba melihat fenomenon alam menerusi sudut pandangan neomekanisme yang kemudiannya menjadi logik-positivisme.
Kumpulan Viena terpengaruh dengan kekuatan kajian Einstein menggunakan unsur matematik dan mantik. Tokoh matematik terkenal seperti Frege, Godell, Twardsdowski, Russell dan Carnap mempengaruhi kumpulan ini untuk menjadikan matematik sebagai unsur terpenting kajian saintifik. Nilai saintifik dalam kajian emperikal bergantung kepada kekuatan aspek matematik yang terkandung dalam analisisnya. Tanpa matematik, kajian makmal tidak dikategorikan sebagai kajian saintifik. Kumpulan ini dikenali juga dengan nama Verein Ernst Mach atau Persatuan Ernst Mach sempena nama tokoh utama kumpulan tersebut Ernst Mach (1838 – 1916). Beliau terkenal kerana kritikannya terhadap pemikiran tentang ruang dan masa. Tokoh lain yang penting dalam kumpulan ini termasuk Schlick, Reichenbach dan Geymonat. Auguste Comte menggunakan istilah sosiologi untuk menghuraikan masyarakat dan pemikirannya menerusi The Course of Positive Philosophy (1830) yang kemudiannya mempengaruhi John Stuart Mill dan Herbert Spencer.
Kumpulan ini mementingkan mantik dan matematik sebagai ukuran status sains. Hujah matematik menjadi ukuran kekuatan sains. Andainya kajian tentang kelakuan haiwan tidak dapat dihubungkan dengan matematik (umpamanya data statistik parameter yang boleh dianalisis secara kuantitatif), maka bidang itu tidak termasuk sains. Kajian pengelasan spesies biologi turut dikaitkan dengan teori set dalam hubungan antara genus, spesies dan lain-lain kerana tanpa kaedah ini, kegiatan itu tidak dianggap saintifik. Kini, semua kajian termasuk kemasyarakatan, pendidikan atau ekologi manusia pun turut melakukan pungutan data statistik supaya bidang itu ada unsur matematik yang melayakkannya untuk digelar kajian saintifik. Demikianlah kuatnya pengaruh positivisme dalam penyelidikan moden.
Dalam objektif penyelidikan atau pengajarannya misalnya, kumpulan ini mensyaratkan semua parameter yang terlibat haruslah paramater yang boleh diukur atau disukat berbentuk kuantitatif semata-mata. Mereka menolak parameter yang membawa maksud subjektif atau kualitatif.
Alfred Jules Ayer (1910 – 1989) ialah antara tokoh penting kumpulan ini. Beliau menerima kaedah pengesahan berdasar logik serta menolak keras sebarang pernyataan metafizik
Sekitar 1930-an, pendokongan kumpulan Viena seperti Schlick, Carnap, Feigl, Frank, Godell, Hempell dan Reinchenbach berhijrah ke Amerika. Schlick, misalnya menjadi profesor pelawat di Universiti Stanford manakala Feigl menjadi profesor di Universiti Iowa dan Carnap berkhidmat di Universiti Chicago. Maka matematik bebas nilai tersebut berkembang pesat di Amerika yang disokong pula oleh fahaman evolusinisme yang menolak ketuhanan sama sekali dalam kajian saintifik. Fahaman ini dibawa balik ke tanah air pula kemudiannya apabila ramai ahli akedemiknya menerima pendidikan di benua tersebut. Mereka menyebarkan matematik tanpa nilai dalam kuliah tanpa sebarang penapisan. Fahaman tanpa sistem nilai tersebut menjadi paradigma yang mantap dalam sistem pendidikan Malaysia, sama ada disedari atau pun tidak.
Tokoh seperti Russell, Godell dan Hilbert cuba mencari landasan yang kukuh bagi matematik kerana matematik menjadi tema utama dalam aliran Kumpulan Viena. Walaupun tokoh-tokoh metamatik tersebut, mempunyai pandangan yang berbeza tentang tabii matematik, tetapi mereka sepakat menyatakan bahawa matematik seharusnya bebas nilai. Matematik harus dikembangkan berdasar logik, teori set, korelasi dan aksiom yang menjadi premis asas matematik tajaan mereka. Rusell sendiri tidak percaya kepada Tuhan apatah lagi sistem nilai yang terbit daripada konsep tersebut.
Russell memperkembangkan matematik tanpa nilai menerusi logikisme yang menyelinap masuk ke dalam kurikulum pendidikan negara apabila jabatan matematik institusi pengajian tinggi negara yang mula dibuka pertengahan kurun ke-20. Universiti Malaya misalnya menawarkan kursus yang berteraskan metematik yang disuaikan dearipada perkembangan matematik di Britain yang secara umumnya berlandaskan pemikiran Russell dan Northwhitehead. Kursus seperti logik, teori set dan analisis nyata sangat jelas menggunakan pendekatan logikisme Russell manakala dan kursus analisis fungsian pula lebih mirip kepada pendekatan formalisme Hilbert. Kursus teori persamaan pembezaan, khususnya ketika membincangkan tajuk kewujudan dan keunikan penyelesaian persamaan tersebut mirip kepada konsep pemikiran Brouwer yang gemar berhujah dengan aruhan matematik.
Falsafah matematik tanpa nilai menjadi paradigma utama matematik IPTA tempatan yang tersirat dalam teks atau pengajaran di universiti. Pelajar yang dihasilkan dalam skema ini turut membawa fahaman tersebut ke sekolah khususnya bagi pelajar yang terlibat dengan pendidikan matematik.
Pendidikan matematik di negara ini, hakikatnya tidak jauh berbeza daripada falsafah tabii matematik logikisme atau formalisme yang bebas nilai. Falsafah rasionalisme-idealisme misalnya membuat andaian bahawa manusia bersifat neutral dan proses mendapatkan ilmu merupakan aktiviti minda dan aspek kognitif semata-mata. Fahaman emperikal-realisme hanya berminat kepada data nyata bersumber indera semata-mata. Fahaman konstruktivisme-pragmatisme pula menekankan proses pemikiran yang berkembang mengikut persekitaran dan dibina berbentuk subjektif sifatnya bergantung kepada individu tersebut. Walaupun fahaman yang terakhir itu dikaitkan dengan persekitaran dan budaya namun pendekatannya masih bebas metafizik yang menjadi matlamat akhir dalam epistemologi falsafah.
Falsafah kelakuanisme melihat proses pembelajaran seseorang pelajar boleh dilakukan menerusi amalan rutin yang berulang-ulang seperti melatih seekor anjing untuk melakukan sesuatu tugas menerusi amalan yang sama setiap hari. Pengajaran matematik secara latihtubi merupakan kaedah yang lahir daripada falsafah ini yang aktiviti tersebut bebas daripada sebarang sistem nilai.
Penekanan kepada aspek kuantitatif secara keterlaluan dan menafikan aspek kualitatif merupakan cirri utama pendekatan aliran positivisme tajaan kumpulan Viena seperti yang disebut di atas. Kelahiran falsafah tabii matematik dan falsafah pendidikan matematik dalam kurun ke-20 mempunyai susur galur dengan kumpulan tersebut. Menolak aspek ketuhanan dan metafizik menjadi agenda utama pendekatan tersebut. Pendekatan ini menjadi ciri utama proses pengajaran matematik tanah air yang secara jelas dipengaruhi pendekatan bebas metafizik yang menular ke dalam hampir kesemua kurikulum sains matematik di seluruh dunia.
Sebagai contoh, dalam hasil pembelajaran sesuatu kursus misalnya, objektif yang dinyatakan pada permulaan kurikulum perlulah bersifat kuantitatif yang boleh diukur, disukat atau diberi pemberat nilai kuantititi semata-mata. Sebarang objektif lain berbentuk kualitatif seperti memahami, menghargai, menghayati serta mencontohi, perlu dielakkan kerana kumpulan positivisme menafikan aspek kualitatif sepenuhnya. Ini memperlihatkan pendidikan sains matematik di negara ini sangat terikat dengan positivisme yang melihat semua ilmu secara lahiriah semata-mata.
Malaysia berhasrat untuk membangun secara bersepadu sama ada pembangunan fizikal atau pun pembanguanan kemanusiaan. Hasrat pembangunan yang menggabungkan kedua-dua aspek kualtitatif dengan kualitatif tersebut kelihatannya sangat bercanggah dengan pendekatan pengajaran yang hanya menumpukan kepada aspek kuantitatif semata-mata. Persoalan akhlak, disiplin, etika dan seumpamanya teramasuk dalam aspek kualitatif yang diabaikan sama sekali dalam falsafah positivisme atau falsafah yang bercabang daripadanya.


Adakah Nisbah Intelektual Pelajar Matematik Negara Cemerlang?

Ada banyak indeks untuk mengukur nisbah intelektual (IQ) pelajar Malaysia dalam akademik khususnya dalam matematik berbanding pelajar negara serantau. Banyak negara di dunia menjadikan pertandingan International Mathematical Olympiad (IMO) sebagai indeks untuk mengukur tahap kurikulum matematik negara masing-masing secara relatif terhadap negara serantau dan antarabangsa. Dalam konteks ini, Malaysia, yang menyertai pertandingan tersebut sejak 1996, bolehlah mengambil keputusan tersebut sebagai timbangtara pencapaian indeks matematik berbanding negara lain di dunia. Perhatikan ranking sepuluh terbaik negara di dunia dalam matematik mengikut tertib menurun. Bandar dalam kurungan menunjukkan tempat pertandingan berlangsung:[3]

IMO 2009 (Bremin, German): China, Jepun, Rusia, Korea Selatan, Korea Utara, USA, Thailand, Turkey, German, Belarus, .... UK(17), ... Malaysia (75)

IMO 2008 (Madrid, Sepanyol): China, Rusia, USA, Korea Selatan, Iran, Thailand, Korea Utara, Turki, Taiwan, Hungary, .... UK (23), ... Malaysia (55)

IMO 2007 (Hanoi, Vietnam): Rusia, China, Korea Selatan, Vietnam, USA, Jepun, Ukraine, Korea Utara, Bulgaria, Taiwan, ... UK (28), ... Malaysia (74)

IMO 2006 (Lubjana, Slovania): China, Rusia, Korea Selatan, German, USA, Romania, Jepun, Iran, Moldova, Taiwan, .... UK (19). ... Malaysia (70)

IMO 2005 (Merida, Mexico): China, USA, Rusia, Iran, Korea Selatan, Romania, Taiwan, Jepun, Hungary, Ukraine, Bulgaria, ... UK (13), ... Malaysia (75)

IMO 2004 (Athens, Greece): China, USA, Rusia, Vietnam, Bulgaria, Taiwan, Hungary, Jepun, Iran, Romania, .... UK (20), ... Malaysia (73)

Secara jelas, menerusi data IMO yang diperturunkan seperti yang di atas, tahap keintelektualan penguasaan matematik di Malaysia masih berada pada kumpulan terkebelakang jika dibandingkan dengan kelompok terbaik dunia. Secara tekal kedudukan tempat ke-70 atau sekitarnya dalam ranking dunia menunjukkan tahap IQ negara secara keseluruhannya masih lemah. Hujah yang sering diberikan para pendidik yang menekankan aspek kuantitatif semata-mata ialah bertujuan untuk melahirkan pelajar yang berkemampuan tinggi dalam matematik. Maka dengan sikap ini, aspek falsafah, sejarah dan metafizik diabaikan sama sekali dalam pengajaran matematik. Namun pengorbanan tersebut tidak meningkatkan kecemerlang yang diharapkan jua, malah mengorbankan satu aspek penting yang berkaitan dengana sistem nilai dan ESQ dalam pengajaran, lalu sekali gus melihat maksud kesepaduan Falsafah Pendidikan Negara sebagai retorik semata-mata, khususnya dalam bidang matematik.
Boleh diperhatikan juga kelompok negara Asia secara umumnya lebih menguasai bidang matematik berbanding benua yang lain secara ralatif. Separuh atau lebih separuh daripada 10 negara terbaik dalam penguasaan matematik peringkat tinggi sering dikuasai oleh negara Asia. Perkara yang penting juga untuk diperhatikan bahawa negara yang terbaik dalam matematik dunia ialah negara yang menggunakan bahasa ibunda masing-masing dalam pengajaran ilmu berkenaan. Pelajar berfikir dan menganalisis dalam bahasa ibunda. Bahasa terbaik matematik ialah bahasa ibunda. Dalam IMO pelajar digalakkan untuk menjawab soalan dalam bahasa ibunda masing-masing.
Perhatikan juga negara yang mengutamakan teknologi komputer menunjukkan penguasaan matematik yang menurun kerana sikap pelajar yang bergantung kepada teknologi atau pengiraan berkomputer, akan melemahkan daya kognitif dalam analisis matematik peringkat tinggi. Vietnam sebagai contoh, menunjukkan penguasaan matematik kelompok terbaik dunia, manakala Finland sebagai simbol negara berteknologi tinggi menujukkan penguasaan yang lemah dalam matematik IMO serta berada dalam kelompok yang sama dengan Malaysia.[4]

Membina Kurikulum Matematik yang Bersepadu: Relavankah ESQ?

Permodelan matematik mempunyai tema yang menarik, untuk dikaji sebagai contoh bentuk kesepaduan yang boleh dilakukan seseorang pensyarah dalam kuliah matematik peringkat universiti. Permodelan matematik boleh didapati dalam kursus seperti Perkaedahan Matematik, Persamaan Pembezaan Bukan-Linear atau Permodelan Matematik. Tajuk yang berkaitan dengan pertambahan penduduk, pereputan bahan radioaktif, penyejukan objek panas, model mangsa-pemangsa, gerakan harmonik mudah atau gelembong udara misalnya, boleh dilakukan dengan pendekatan kuantitatif dan kualitatif secara bersepadu, yang akhirnya menunjukan keindahan hukum perjalanan alam yang telah ditakdirkan Pencipta-nya. Tajuk-tajuk tersebut memang telah biasa diajar pada tahap Bachelor tetapi hanya aspek pengiraan kuantitatif yang ditekankan.
Fungsi matematik seperti persamaan linear dan bukan linear, fungsi trigonometri, eksponen, dan seumpamanya sering digunakan dalam permodelan matematik. Fungsi tersebut biasanya berbentuk ideal berbanding dengan peristiwa tabii yang sebenarya. Fungsi sinus atau kosinus biasa dimodelkan dengan pergerakan harmonik seperti gerakan ayunan bandul. Akan tetapi, fungsi trigonometri itu berayun secara tekal dengan frekuensi serta selang ayunan yang tekal selama-lamanya. Hal ini berbeza dengan ayunan bandul, yang dimodelkan dengan fungsi itu, yang pergerakannya akan berhenti kerana permodelan tersebut hanyalah dibuat secara penghampiran. Apabila pelajar menyedari bahawa rumus matematik sebenarnya ialah perwakilan peristiwa alam tabii yang dikaji secara kuantitatif dalam kuliah matematik, setelah selesai melakukan pengiraan tersebut, maka tibalah pula pentafsiran secara kualitatif terhadap masalah tersebut. Ini menimbulkan rasa mesra alam terhadap pemikiran pelajar.
Permodelan gerakan harmonik mudah yang berlaku dalam gerakan bandul boleh dilanjutkan dengan permodelan gerakan bumi mengelilingi matahari pula. Walaupun gerakannya rencam, yang melibatkan darjah kebebasan pergerakan yang pelbagai, namun dalam bentuk penghampiran, gerakannya boleh dimodelkan dengan gerakan harmonik yang sama. Pelajar akan melakukan penghampiran gerakan tersebut dengan penyelesaian berbentuk fungsi trigonometri yang berkala dan bersistem. Demikianlah indahnya hukum perjalanan planet tersebut yang begitu rapi dan harmonik perjalanannya sepanjang zaman. Perjalanan planet boleh diramal kedudukannya berdasar persamaan atau penyelesaian gerakan tersebut. Demikianlah pula andainya gerakan dalam sistem matahari yang melibatkan bumi, bulan dan matahari dikaji dalam bentuk yang sama, seperti kajian astronomi, maka akhirnya dengan model matematik, peristiwa seperti perubahan musim, gerhana bulan dan matahari, pasang surut air laut dan takwim ibadat boleh diramalkan berdasarkan keharmonian hukum alam. Apakah dengan pendekatan ini, pelajar masih tidak sampai kepada kesempurnaan sifat yang dimiliki Pencipta alam cakerawala tersebut?
Kajian permodelan matematik dalam bidang biologi pula menjadi bidang yang menarik. Banyak persitiwa biologi boleh dimodelkan dalam rumus matematik dan kemudiannya boleh ditafsirkan kembali untuk menerangkan peristiwa hayat itu. Sebagai contoh perhatikan pembiakan bakteria dalam suasana tertentu, atau gelagat mangsa dan pemangsa (seperti kehidupan kijang dan singa di padang ragut Afrika) dalam satu ekosistem yang boleh diperturunkan dalam bentuk persamaan terbitan linear atau bukan-linear. Ini menunjukkan matematik ialah ilmu yang hampir dengan kehidupan.
Selama ini sains hayat dan matematik sering dianggap dua bidang yang terpisah jauh. Namun hakikatnya, kedua-duanya merakamkan perkara yang sama menerusi dua sudut yang berbeza seperti yang ditunjukkan oleh permodelan tadi. Dalam kajian struktur DNA misalnya, kajian boleh dilakukan secara emperikal biologi atau permodelan matematik dengan simulasi komputer. Identiti kejadian manusia yang digambarkan oleh belitan DNA tersebut, sungguh menakjubkan untuk dilihat kaedah penyusunannya yang melebihi 3.2 bilion menerusi komputer atau kajian statistik. Kajian tentang teknologi nano yang menyelami rahsia kejadian makhluk seni yang tidak pernah disaksikan oleh mata biasa, kini mengambil tempat dalam kajian kontemporari untuk dikaji menerusi pelbagai perspektif: biologi, kimia, bioteknologi, fizik, sains komputer, statistik dan matematik. Di sini boleh dilihat bahawa bidang sains fundamental yang terpencil tidak mampu lagi untuk kajian tersebut, melainkan gabungan keseluruhan disiplin ilmu untuk melihat fenomenon menerusi pelbagai sudut kajian.
Sebagai contoh, sepasukan penyelidik DNA di makmal Susanah Gal, Universiti Binghimpton, USA melakukan kajian ke arah penulisan dan pembacaan maklumat molekul DNA yang dilarutkan di dalam pelarut. Kajian dilakukan secara pendekatan matematik Boolean dan mantik serta teknologi komputer. Dalam proses ini, satu lagi dimensi kajian diterokai untuk melihat keagungan Ilahi dalam penciptaan DNA.[5]
Hubungan matematik dengan semua bidang pengajian boleh dilakukan. Menurut pandangan saintis Barat, martabat dan status sesuatu cabang sains bergantung kepada unsur matematik dalam bidang tersebut. Sebagai contoh, fizik yang kelihatan lebih banyak menggunakan konsep matematik dalam semua bidang kajiannya, dianggap oleh mereka, lebih tinggi kedudukan kesainsannya berbanding dengan bidang biologi yang secara relatifnya kurang unsur berkenaan. Namun dalam pendekatan permodelan matematik, hampir setiap fonomenon biologi boleh dirumus atau dikaji menerusi matematik. Sebagai contoh, teori katastrofi malapelaka yang dikembangkan oleh Rene Thom, misalnya, menggunakan model polinomial untuk melihat sikap agresif anjing apabila haiwan itu lapar atau memerlukan tindakan garangnya secara spontan dan tiba-tiba. Kajian ini yang dikenali sebagai teori kesingularan, mengkaji model lengkungan kritikal fungsi yang mewakili rantau genting perbezaaan sikap tenang anjing dengan sikap garangnya yang berlaku secara tiba-tiba. Model tiba-tiba ini boleh dimodel pula kepada banyak peristiwa alam yang lain seperti reputan bahan radioaktif, ledakan bom dan gunung berapi, atau yang lebih menariknya model Letupan Besar Big Bang pembentukan alam semesta. Dengan ini, konsep matematik boleh diperluaskan dan dimodelkan ke dalam hampir semua fonomenon sains tabii, sains ekonomi, sains kemasyarakatan atau sains yang lebih umum. Model Latupan Besar boleh dikaji menerusi model persamaan Einstein dan teori singularan dwicabang bukan linear. Adakah penciptaan alam semesta yang dimodelkan dengan peristiwa itu yang berlaku dengan penuh keajaiban, boleh diperihalkan secukupnya hanya dengan menggunakan hukum fizik untuk kewujudannya, tanpa memerlukan Kuasa Mutlak Yang Maha Agung? Persoalan inilah yang menukar idola Stephen Hawking daripada Bertrand Russell yang menganut Atheisme tulen kepada Albert Einstein yang lebih bersimpati untuk mempercayai Kuasa Mutlak Yang Agung (dalam versinya tersendiri).[6]
Mengikut takrifan Barat terhadap kalimah sains yang berdasar kepada kewujudan unsur matematik di dalam bidang itu, maka ilmu yang manakah tidak boleh dikategorikan sebagai sains? Dengan takrifan ini, matematik mempunyai ruang yang luas untuk dilihat secara sepadu dalam bidang yang lain. Sifat kesepaduan itulah antara ciri yang disebutkan sebagai model dalam acuan kesepaduan sains.
Sebagai kesimpulan, kursus Sejarah dan Falsafah Matematik dalam kurikulum di institusi pengajian tinggi menjadi rantau pertemuan serta penyatuan seluruh cabang serta komponen matematik yang telah terpisah akibat pemikiran falsafah Barat yang melanda sistem pendidikan negara. Dalam kursus ini, pelajar diajak kembali untuk merenungi fungsi matematik dalam kesatuan ilmu keseluruhannya. Setiap ilmu menjadi komponen satu jasad kesatuan ilmu secara keseluruhannya. Ilmu pula dipelajari untuk mengenali hakikat kewujudan dan kebenaran sejati. Matematik ialah ilmu alat dalam kehidupan manusia, alat teknologi dalam sains kontemporari, penghubung perataraan dalam ilmu falsafah. Matematik tidak berkembang secara terpisah dalam rentetan pembinaan ilmunya sepanjang zaman serta tidak memisahkan kedua-dua aspek kualitatif dan kuantitatif pada awal perkembangannya. Apabila masa berlalu, paradigma asal kajian ilmu matematik sebagai penghubung antara sains dengan ketuhanan telah dilupakan, tetapi matematik dilihat oleh Barat sebagai penghubung sains dengan teknologi semata-mata. Maka kursus ini mengajak masyarakat supaya melihat kembali nilai kesepaduan ilmu yang berfungsi dalam pembangunan jiwa dan jasmani, pembangunan negara dan insani. Kursus ini mengajak masyarakat pelajarnya untuk menilai kembali sejarah matematik yang benar, yang dicatatkan oleh penulis yang adil. Sejarah menyaksikan kemunculan matematik yang agung di timur dan di barat. Bandingkankanlah antara individu sepadu tokoh matematik Muslim silam dengan tokoh sekularis formalis matematikawan Barat yang memperjuangkan “matematik untuk matematik” semata-mata. Maka pengetahuan ini, diharapkan berguna untuk mentakrifkan kerangka matematik acuan negara yang melihat kesepaduan sebagai acuan dan matlamatnya seperti yang terkandung dalam Falsafah Pendidikan Negara.


Etnomatematik dan Matemadesa

Kita telah banyak berbincang tentang acuan serta kurikulum bersepadu di pelbagai peringkat pengajian di negara ini, tetapi di manakah kita boleh merujuk model yang dimaksudkan itu? Jawapannya, mudah, bahawa kita belum ada modul yang dimaksudkan tetapi kita telah sebutkan ciri-ciri acuan yang menjadi idaman itu, bahawa sebagai petunjuknya iaitu kurikulum binaan itu seharusnya memenuhi sifat kesepaduan pembangunan fizikal dan pembangunan kemanusiaan secara serentak. Kita akui bahawa usaha ke arah merealisasikan hasrat ini masih belum bermula ataupun jika berlaku pun, masih di peringkat peribadi, bukan di peringkat sistem. Namun perjalanan yang jauh itu bermula daripada langkah pertama. Walaupun konsep kurikulum bersepadu KBSM telah diperkenalkan, tetapi perlaksanaan sebenarnya belum berlaku.
Kita tidak nafikan beberapa usaha individu telah diadakan oleh ilmuwan tempatan ke arah pembinaan kurikulum dalam bentuk pemeribumian matematik, pendidikan-berdasar iman, penambahan sistem nilai ke dalam matematik dan pendekatan etnomatematik. Sebagai contoh, Profesor Shaharir Mohamad Zain bersama-sama dengan bebarapa rakannya telah mengemukakan satu modul pengajaran matematik di peringkat menengah rendah di bawah projek Matemadesa yang pernah diadakan di Negeri Sembilan pada tahun 2002. Projek ini melibatkan sekumpulan guru matematik yang diharapkan akan didedahkan dengan satu contoh modul kesepaduan yang dimaksudkan di sekolah masing-masing. Ada beberapa tajuk matematik asas yang dijadikan tajuk kajian kes, termasuk sistem nombor, persamaan aljabar, trigonometri dan geometri.
Dalam usaha awal ini, guru dilatih untuk menjadikan matematik sebagai ilmu mesra budaya, mesra masyarakat dengan penekanan unsur tempatan di samping kesejagatan matematik, ke dalam kuikulumnya. Matematik cuba diperkenalkan menurut sejarah penemuan awalnya yang sebenarnya dan penerokaan matematik didasar kepada suasana yang dilalui oleh sejarah matematik itu sendiri. Ini termasuklah kaedah memperkenalkan pendahuluan ilmu bersifat epistemologi yang mempunyai unsur sejarah, hubungan matematik dengan budaya ilmuwannya, unsur etnomatematik dan tempatan yang mudah ditanggapi pelajar serta matematik sebagai ilmu yang tidak asing kepada pelajar serta menjadi alat penyelesaian masalah seharian. Dengan ini diharapkan matematik dipelajari bukan bersifat kuantitatif kaku dan kering tanpa sebarang unsur kemanusiaan. Pendedahan ini dikemukakan oleh Profesor Shaharir menerusi bukunya Prinsip dan Pengenalan Panduan Perlaksanaan Matemadesa (2001).[7]
Setiap tajuk matematik mempunyai latar belakang sejarah penemuan yang unik. Dalam pendekatan Matemadesa tajuk biasa matematik telah diperkenalkan dengan memasukkan unsur falsafah, susur galur penemuan matematik tajuk berkenaan, budaya, dan nilai yang meyumbang kepada perbincangan tajuk tersebut. Sebagai contoh, dalam perbincangan tentang bulatan peringkat menengah rendah, perbincangan melibatkan kalimah bulatan dalam pelbagai bahasa seperti al-da’irah (Arab), kiklos (Yunani), siklus (Latin) dan circle (Inggeris). Kemudian, objek alam yang berbentuk bulatan atau hampir bulatan dikemukakan sebagai contoh seperti bumi, bulan, dan matahari, atau objek buatan manusia seperti bola. Sedikit tentang falsafah Plato tentang keistimewaan bulatan turut dimasukkan sebagai rencah pembelajaran. Selain itu, falsafah etnosains[8]China, India serta Melayu berkaitan dengan astronomi serta gambaran sistem matahari untuk menambahkan citarasa keperibumian dalam pendekatan ini. Aspek sejarah Yunani, Islam dan Eropah tentang alam kosmos dijadikan pendahuluan tajuk berkenaan. Rencah ini diharapkan untuk menimbulkan kesedaran pelajar serta menghubungjalinkan pelbagai perspektif dalam konsep kesatuan bidang yang menjadi teras kesepaduan ilmu.
Rumus lilitan bulatan serta nilai yang berkaitan dengan nilai p diterokai menerusi pemerhatian tokoh awal tentang nisbah lilitan perimeter sebuah bulatan terhadap garis pusat. Nilai ini didapati malar dan tetap untuk semua saiz bulatan, kecil atau besar. Nilai ini mempunyai kaitan yang tetap antara lilitan dengan garis pusat yang menerbitkan rumus lilitan perimeter. Perkembangan anggaran nilai p, bermula dengan nilai 3 hingga ke nilai yang lebih tepat, dalam pelbagai tamadun menjadi unsur sejarah yang perlu diketahui pelajar untuk menimbulkan rasa penghargaan kepada jasa dan sumbangan umat terdahulu dalam kajian warisan itu.
Perhatikan pula bentuk latihan tentang tajuk bulatan tersebut yang dikhususkan peringkat tersebut dalam pemahaman umum tajuk tersebut yang melibatkan unsur kualitatif dan kuantitatif. [9]

· Buat anggaran p dengan menggunakan tin, botol, tunggul kayu, duit siling dan sebagainya. Kemudian buat kajian perpustakaan untuk mengetahui nilai pemalar ini sekarang.

· Jika sebuah kawasan berbentuk bulatan yang berdiameter 400 meter hendak dibina pagar sekelilingnya sedangkan kos memagar dianggar RM2 semeter, berapakah wang yang perlu disediakan untuk menyiapkan rancangan ini.

Guru disaran untuk merekabentuk soalan ke arah menimbulkan citra tempatan sebagai latar belakang soalan serta budaya tempatan agar soalan tersebut benar-benar menggambarkan masalah yang realistik. Perhatikan bentuk soalan berkaitan dengan persamaan linear mengikut model Matemadesa:

· Sufian Lim bertolak selepas waktu subuh dengan Proton Wira dari Skudai menuju ke Alor Setar melalui Lebuh Raya Utara-Selatan dengan purata kelajuan 60km/j. Beliau berhenti rehat di Seremban selama 30 minit untuk menjamu selera [dan berehat]. Kemudian beliau meneruskan perjalanannya dengan kelajuan 70km/j. Sempatkah beliau sembahyang zohor di Ipoh? Apakah andaian yang perlu?

· Sufian Lim bertolak pukul 9.00 pagi dengan Proton Wira dari Skudai menuju ke Alor Setar melalui Lebuh Raya Utara-Selatan dengan purata kelajuan 90km/j. Beliau berhenti rehat di Seremban selama 1 jam 15 minit untuk menjamu selera [dan berehat]. Sekitar pukul 10.30 pagi, kawannya David Arumugam bertolak tanpa henti dari Skudai dalam arah yang sama dengan kelajuan 160km/j. Sempatkah David mengejar dan mendapatkan Suffian sebelum tiba di Alor Star? Nyatakan persolanan etika yang terlibat dalam masalah ini?

· Tiga sahabat berpakat untuk membeli seekor kuda tetapi masing-masing tidak mencukupi untuk membayar harganya bernilai RM5000. Jika sahabat pertama mengeluarkan semua wangnya, dan sahabat kedua mengeluarkan separuh wangnya, manakala sahabat yang ketiga mengeluarkan sepertiga wangnya, lalu dikumpulkan kesemuanya, maka wang ini sudah cukup untuk membayar harga kuda tersebut. Cari kemungkinan jumlah wang kepunyaan setiap orang sahabat itu.[10]

Matlamat untuk melihat matematik berwajah sistem nilai seperti yang dibincangkan di sini, mempunyai perjalanan yang masih panjang, berliku. Adakah negara sudah bersedia untuk membincangkan matematik dalam pendekatan ini? Paradigma pendidik sentiasa berubah, dan kita berharap perubahan akan berlaku jua ke arah penyatuan antara aspek yang terpisah itu. Dalam kapasiti individu, pengajaran dan pendidikan matematik sedemikian sentiasa boleh dilakukan.
Universiti awam negara mempunyai autoriti dan autonomi pembinaan kurikulum tersendiri, yang tidak terikat dengan universiti yang lain. Andainya, di peringkat sekolah, kemasukan unsur kualitatif dilihat sebagai perkara yang tidak dinilai dalam peperiksaan, sedangkan keputusan akademik yang cemerlang menjadi matlamat semua, akan tetapi di peringkat universiti, pensyarah boleh mengemukakan soalan peperiksaan bidang matematik yang mempunyai unsur kualitatif serta memberi pemberat markah yang setimpal antara kedua-dua unsur kualitatif dan kuantitatif.
Adakah model tertentu yang boleh dirujuki pensyarah atau pengajar untuk tujuan ini? Panduan resmi sesungguhnya belum ada, maka itulah jawapan resminya! Kita belum ada sebarang modul atau manual ke arah perlaksanaan bersepadu peringkat pengajian tinggi. Namun, di mana ada kemahuan, di situ ada jalan. Tulisan ini juga bertujuan untuk mencetuskan minda ilmuwan kita ke arah pemikiran aspek kesepaduan dalam pendidikan tinggi negara andainya slogan pembangunan fizikal dan kerohanian perlu diterapkan sebagai agenda negara. [11]
Namun, usaha individu atau badan bukan kerajaan ke arah penyepaduan sains matematik memang pernah dilakukan seperti yang dilakukan oleh Persatuan Sains Matematik Malaysia (Persama) dan Akademi Sains Islam Malaysia (Asasi). Profesor Shaharir Mohamad Zain, yang pernah memegang jawatan presiden kedua-dua badan tersebut, misalnya dalam Siri Kuliah Pelandok telah mengemukakan modul kuliah yang memperkenalkan kursus matematik kuantitatif menerusi kaedah kesepaduan falsafah dan sejarah sebenar penemuan ilmu berkenaan.[12]
Sebagai contoh, menerusi buku Dinamik Sebutir Dua Zarah Klasik terbitan dalam Siri Pelandok (2004), pengarang memperkenalkan teori kenisbian Einstein menerusi sejarah sebenar sumbangan setiap tamadun sepanjang zaman sehingga teori tersebut diungkapkan sehingga terkenal oleh Einstein. Buku ini merupakan kuliah beliau yang sebenarnya dalam beberapa kursus yang berkaitan dengan mekanik, dinamik zarah, manifold, dan pengkuantuman. Pendekatan sejarah dan falsafah kajian merentas zaman itu menjadi rencah yang menarik untuk diteladani dalam pendekatan yang dimaksudkan secara sepadu. Aspek sejarah dan falsafah penemuan turut dimasukkan sebagai latihan tugasan atau soalan peperiksaan yang mempunyai pemberat markah penilaian yang selayaknya, selain aspek kuantitatif biasa. Perhatikan beberapa contoh latihan yang dimaksudkan itu:[13]

· Dapatkan ungkapan pecutan dalam sistem koordinat Cartes dan sistem koordinat kutub. Kenapakah sistem kordinat kutub sesuai digunakan untuk menyelesaikan pergerakan dua jasad Newton?

· Secara kualitatifnya, apakah bezanya orbit gerakan dua jasad mengikut model Newton dengan model Einstein-Poincare serta model Schroedinger, dan oleh itu beri pendapat anda tentang ketepatan atau sebaliknya logo UKM?

· Beri satu ciri utama yang menyebabkan teori Einstein-Poincare itu dikatakan satu revolusi dalam sains?

Permodelan matematik mempunyai tema yang menarik, untuk dikaji sebagai contoh bentuk kesepaduan yang boleh dilakukan seseorang pensyarah dalam kuliah matematik peringkat universiti. Permodelan matematik boleh didapati dalam kursus seperti Perkaedahan Matematik, Persamaan Pembezaan Bukan-Linear atau Permodelan Matematik. Tajuk yang berkaitan dengan pertambahan penduduk, pereputan bahan radioaktif, penyejukan objek panas, model mangsa-pemangsa, gerakan harmonik mudah atau gelembong udara misalnya, boleh dilakukan dengan pendekatan kuantitatif dan kualitatif secara bersepadu, yang akhirnya menunjukan keindahan hukum perjalanan alam yang telah ditakdirkan Pencipta-nya. Tajuk-tajuk tersebut memang telah biasa diajar pada tahap Bachelor tetapi hanya aspek pengiraan kuantitatif yang ditekankan.
Fungsi matematik seperti persamaan linear dan bukan linear, fungsi trigonometri, eksponen, dan seumpamanya sering digunakan dalam permodelan matematik. Fungsi tersebut biasanya berbentuk ideal berbanding dengan peristiwa tabii yang sebenarya. Fungsi sinus atau kosinus biasa dimodelkan dengan pergerakan harmonik seperti gerakan ayunan bandul. Akan tetapi, fungsi trigonometri itu berayun secara tekal dengan frekuensi serta selang ayunan yang tekal selama-lamanya. Hal ini berbeza dengan ayunan bandul, yang dimodelkan dengan fungsi itu, yang pergerakannya akan berhenti kerana permodelan tersebut hanyalah dibuat secara penghampiran. Apabila pelajar menyedari bahawa rumus matematik sebenarnya ialah perwakilan peristiwa alam tabii yang dikaji secara kuantitatif dalam kuliah matematik, setelah selesai melakukan pengiraan tersebut, maka tibalah pula pentafsiran secara kualitatif terhadap masalah tersebut. Ini menimbulkan rasa mesra alam terhadap pemikiran pelajar.
Permodelan gerakan harmonik mudah yang berlaku dalam gerakan bandul boleh dilanjutkan dengan permodelan gerakan bumi mengelilingi matahari pula. Walaupun gerakannya rencam, yang melibatkan darjah kebebasan pergerakan yang pelbagai, namun dalam bentuk penghampiran, gerakannya boleh dimodelkan dengan gerakan harmonik yang sama. Pelajar akan melakukan penghampiran gerakan tersebut dengan penyelesaian berbentuk fungsi trigonometri yang berkala dan bersistem. Demikianlah indahnya hukum perjalanan planet tersebut yang begitu rapi dan harmonik perjalanannya sepanjang zaman. Perjalanan planet boleh diramal kedudukannya berdasar persamaan atau penyelesaian gerakan tersebut. Demikianlah pula andainya gerakan dalam sistem matahari yang melibatkan bumi, bulan dan matahari dikaji dalam bentuk yang sama, seperti kajian astronomi, maka akhirnya dengan model matematik, peristiwa seperti perubahan musim, gerhana bulan dan matahari, pasang surut air laut dan takwim ibadat boleh diramalkan berdasarkan keharmonian hukum alam. Apakah dengan pendekatan ini, pelajar masih tidak sampai kepada kesempurnaan sifat yang dimiliki Pencipta alam cakerawala tersebut?
Kajian permodelan matematik dalam bidang biologi pula menjadi bidang yang menarik. Banyak persitiwa biologi boleh dimodelkan dalam rumus matematik dan kemudiannya boleh ditafsirkan kembali untuk menerangkan peristiwa hayat itu. Sebagai contoh perhatikan pembiakan bakteria dalam suasana tertentu, atau gelagat mangsa dan pemangsa (seperti kehidupan kijang dan singa di padang ragut Afrika) dalam satu ekosistem yang boleh diperturunkan dalam bentuk persamaan terbitan linear atau bukan-linear. Ini menunjukkan matematik ialah ilmu yang hampir dengan kehidupan.
Selama ini sains hayat dan matematik sering dianggap dua bidang yang terpisah jauh. Namun hakikatnya, kedua-duanya merakamkan perkara yang sama menerusi dua sudut yang berbeza seperti yang ditunjukkan oleh permodelan tadi. Dalam kajian struktur DNA misalnya, kajian boleh dilakukan secara emperikal biologi atau permodelan matematik dengan simulasi komputer. Identiti kejadian manusia yang digambarkan oleh belitan DNA tersebut, sungguh menakjubkan untuk dilihat kaedah penyusunannya yang melebihi 3.2 bilion menerusi komputer atau kajian statistik. Kajian tentang teknologi nano yang menyelami rahsia kejadian makhluk seni yang tidak pernah disaksikan oleh mata biasa, kini mengambil tempat dalam kajian kontemporari untuk dikaji menerusi pelbagai perspektif: biologi, kimia, bioteknologi, fizik, sains komputer, statistik dan matematik. Di sini boleh dilihat bahawa bidang sains fundamental yang terpencil tidak mampu lagi untuk kajian tersebut, melainkan gabungan keseluruhan disiplin ilmu untuk melihat fenomenon menerusi pelbagai sudut kajian.


Dialog Penulis Dengan ASASI tentang Sistem Nilai dalam Matematik

Secara peribadi, saya melihat aspek IQ dan ESQ masih belum berpadu dalam pendidikan atau penyelidikan matematik di rantau ini, khususnya di Malaysia. Model kesepaduan yang dimaksudkan masih belum menjelma dalam kurikulum rasmi negara. Sekiranya terdapat usaha kesepaduan yang dimaksudkan, hanyalah usaha individu yang bersifat peribadi. Modul yang disusun sebagai model kesepaduan tersebut, andainya wujud pun, hanya sekadar latihan ilmiah pelajar pasca-siswazah yang masih belum ditafsirkan atau diterjemahkan ke dalam amalan pendidikan.
Dalam hubungan ini, saya perturunkan pandangan peribadi saya tentang persoalan matematik, sistem nilai, kesepaduan dan falsafah dalam bentuk dialog bicarawara ilmiah. Dialog ini berdasar wawancara yang diajukan oleh editor majalah ilmiah Kesturi (edisi maya) kepada saya pada penghujung tahun 2008 yang lepas. Tulisan berhuruf tebal merupakan soalan editor yang diikuti oleh jawapan penulis makalah ini [14].

Di manakah falsafah dan matematik bertemu? Di samping itu, mengapakah banyak juga ahli falsafah besar-besar datangnya dari latar matematik--seperti Pithagoras, Russell, Wittgenstein, Leibniz, Newton, dll?

Sebenarnya matematik merupakan juzuk utama falsafah. Falsafah pula yang bermaksudkan cintakan kebenaran, ialah ilmu induk yang mempunyai tiga komponen iaitu sains, matematik dan metafizik. Falsafah pada asalnya mengkaji alam semesta dengan menggunakan pemikiran secara mendalam untuk mengetahui hakikat kewujudan alam semesta. Alam semesta yang boleh dicerap indera dikaji dengan penghujahan mantik untuk sampai kepada hakikat ketuhanan. Ketuhanan merupakan matlamat utama falsafah. Justeru, matematik dilihat sebagai ilmu yang menghubungkan sains dengan metafizik dalam skema ilmu falsafah. Maka, dengan takrifan ini, seseorang yang menguasai sains, matematik dan cabang-cabangnya serta sampai kepada hakikat kebenaran bahawa alam semesta ini sebagai manifestasi keagungan Ilahi, layak digelar ahli falsafah. Ciri ini boleh diperhatikan dalam diri ahli falsafah seperti Pithagoras, al-Farabi, Liebniz, Newton dan Einstein misalnya. Mereka kesemuanya mengakui kewujudan Tuhan Yang Maha Agung sebagai pencipta mutlak alam semesta.

Namun, ada sebahagian ahli falsafah seperti Russell yang belum tamat pemikirannya lalu gagal sampai ke destinasi metafizik. Russell sangat dikenali sebagai ahli falsafah yang menafikan metafizik. Dalam era moden ini pula, apabila seseorang pelajar melakukan kajian secara mendalam dalam cabang ilmu sains, matematik atau metafizik, beliau akan dianugerah Doktor Falsafah. Falsafah di sini mewakili maksud kajian yang mendalam yang tersirat di belakangannya aktiviti mencari kebenaran/hakikat yang bertepatan dengan realiti. Maka sama ada seorang pelajar itu melakukan kajian dalam bidang matematik, biologi, ekologi, atau antropologi maka di akhir kajiannya maka beliau mendapat ijazah falsafah yakni PhD.

Sejarah hidup Newton boleh diperhatikan untuk menggambarkan maksud ahli falsafah. Beliau mengkaji alam semesta khususnya berkaitan kimia, fizik dan optik. Kajian ini menggunakan kekuatan logik dan matematik. Beliau mengembangkan ilmu kalkulus dan teori penghampiran dalam matematik untuk menerangkan konsep gerakan, graviti dan optik. Beliau mengiktiraf ketuhanan yang Maha Agung, Yang Maha Esa. Pendirian beliau tentang ketuhanan berbeza dengan masyarakat Eropah yang lain. Beliau menolak konsep triniti Kristian tetapi mengisytiharkan mazhab unitarian yang mengiktiraf ketuhanan yang Maha Mulia. Beliau lebih banyak menulis tentang ketuhanan berbanding dengan bidang sains yang lain. Itulah sebab Raja James yang menjadi penaung Kristian di England berkonflik dengan Newton kerana pendirian Newton bahawa Tuhan mesti Esa Sifat-Nya. Newton berpesan agar kematian beliau tidak diuruskan jenazahnya seperti penganut Kristian yang lain. Perhatikan perkataan beliau dalam karya agungnya Mathematical Principles of Natural Philosophy:

“The true God is a living, intelligent, and powerful being…He is eternal and infinite, omnipotent and omniscient; that is, his duration reaches from eternity to eternity; his presence from infinity to infinity; he governs all things, and knows all things that are or can be done. …We know him only by his most wise and excellent contrivances of things... [W]e revere and adore him as his servants”.

Jelas Newton menggabungkan ketiga-tiga komponen falsafah iaitu sains, matematik dan metafizik yang melayakkan beliau digelar ahli falsafah. Setiap ahli falsafah semestinya seorang saintis, tetapi seorang saintis tidak semestinya ahli falsafah.

Dalam fizik, yang dianggap penting adalah teoremnya. Manakala dalam matematik pula yang dianggap penting adalah aksiomnya. Tapi, mengapakah aksiom dalam matematik ini menjadi demikian penting. Dan, apakah terdapat contoh terkenal dalam sejarah matematik bahawa ada aksiom matematik yang kuat diyakini, kemudian akhirnya runtuh?

Setiap bangunan ada batu asasnya. Asas yang mantap menjadi sebab pula akan kekuatan bangunan tersebut. Demikian pula fizik dan matematik. Dalam fizik ada andaian atau postulat asas. Fizik mengandaikan keseragaman hukum alam sebagai asas binaannya. Hukum fizik berkaitan gerakan, graviti, entropi, dan seumpamanya yang dikaji di atas premis keharmonian hukum alam. Selagi alam semesta berjalan secara harmoni seperti semalam, maka hukum fizik diandaikan berlaku esok dalam keadaan yang sama. Cerapan ujikaji makmal dalam fizik membuat cerapan berdasar premis tersebut.

Andaian asas dalam matematik pula dikenali sebagai aksiom. Dalam matematik ada aksiom nombor nyata Peano, ada aksiom geometri Euklid dan ada aksiom teori set. Bahkan setiap perbincangan matematik diandaikan di atas aksiom tertentu. Aksiom ialah sifat asas yang dipercayai benar dan tidak perlu lagi dibuktikan kebenarannya. Bahkan sifat lain dibuktikan benar nisbi kepada aksiom sebagai premis. Aksiom dapat dirasakan dengan intuisi akan kebenarannya. Teorem matenatik pula dibuktikan kebenarannya berdasar aksiom tadi secara deduksi. Lalu keputusan demi keputusan dalam bidang berkenaan diperoleh berdasar asas aksiom tersebut. Apakah yang terjadi andainya satu daripada aksiom itu dipersoalkan? Ini mengakibatkan seluruh keputusaan yang dibuat berdasar aksiom tersebut turut dipersoalkan.

Dalam geometri Euklid misalnya beberapa aksiom diletakkan sebagai asas, seperti titik tidak berdimensi atau mempunyai jarak. Garis lurus merupakan gabungan titik-titik, dan gabungan garis membentuk permukaan. Dua garis lurus yang selari tidak bertemu selama-lamanya. Aksiom tersebut dianggap benar lebih daripada 2000 tahun tetapi apabila dunia kenisbian Einstein giat dilakukan kajian, maka didapati aksiom itu hanya benar dalam ruang yang terhad sahaja. Aksiom tersebut tidak benar secara sejagat, khususnya tentang sifat keselarian garis lurus. Maka geometri Euklidean yang diagung-agungkan selama 2000 tahun itu pun runtuhlah, kerana asasnya yang telah terbukti lemah dan palsu. Geometri ini diganti pula oleh geometri Labochevskian atau geometri kenisbian.

Di atas dasar yang sama, sifat cahaya bergerak lurus yang disebut Newton telah dibuktikan palsu oleh pengikut Einstein. Ahli geometri kenisbian lebih jauh dari itu menyatakan bahkan garis lurus pun tidak wujud. Apa yang Newton sebut sebagai garis lurus itu sebenarnya bulatan dengan jejeri tak terhingga. Hakikatnya, geometri baharu menganggap bulatan sebagai bentuk asas. Demikian pula Einstein yang mengangap zarah tidak boleh bergerak melebihi halaju cahaya, telah dicabar oleh Stephen Hawking yang menyatakan pengembangan alam akibat ledakan Big Bang berlaku lebih pantas daripada halaju cahaya dalam pecahan saat-saat terawal peristiwa tersebut. Demikianlah tabii sains yang sentiasa mempunyai kebenaran relatif, dan sentiasa menunggu masa untuk dipalsukan oleh penemuan baharu.

Dalam sesuatu agama, aksiom bolehlah dibandingkan pula dengan rukun iman atau articles of faith yang menjadi asas agama tersebut. Rukun tersebut menjadi asas dan semua amalan penganutnya dinilai berdasar prinsip asas itu. Ini dengan jelas menunjukkan fizik dan matematik, atau sains secara umumnya ditafsirkan berdasar postulat atau aksiom yang terikat ketat dengan sistem nilai dan keyakinan sesuatu tamadun yang mengembangkan ilmu tersebut.

Kita lihat, pada Zaman Renaisans Eropah, saintis waktu tersebut lebih dikenali sebagai filsuf tabii, natural philosopher. Ini jelas dapat kita semak menerusi tema buku Newton sendiri yang mencatatkan, Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica. Namun, nampaknya setelah itu, secara perlahan-lahan paradigma begini berubah, sehingga pada tahap ekstrimnya menjadi saintisme. Mengapa hal ini boleh berlaku?

Pada zaman Newton, sains masih dikategori sebagai falsafah tabii, yakni sains sebagai komponen penting falsafah yang mengkaji tabii atau alam fizik. Konotasi ini membawa maksud matlamat sains sebenarnya terikat dengan matlamat falsafah, yakni mengenali hakikat kebenaran tabii. Andainya seseorang menemui sebuah lukisan yang cantik di atas kanvas di dalam sebuah hutan misalnya, maka mustahil dia berhujah bahawa lukisan itu terjadi sendirinya. Bahkan, dia berhujah mesti ada pelukisnya, walaupun dia tidak mengetahui siapa pelukisnya. Lukisan hanyalah imej tiruan gambaran daripada alam semesta yang sebenarnya. Tentulah alam semesta yang cantik serba indah, harmoni lagi artistik ini, lebih memerlukan kewujudaan Pencipta-nya. Analogi ini dibuat untuk memperlihatkan falsafah mempunyai matlamat ketuhanan. Falsafah tabii ketika itu mengkaji alam semesta untuk membuktikan kewujudan Pencipta-nya seperti yang dilakukan oleh Newton. Itulah intisari Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica.

Pada masa Galileo, saintis Eropah menghadapi masalah pertentangan dengan gereja. Tuhan sebagai matlamat sains tabii yang didokong oleh saintis awal Eropah seperti Gilbert dan Paracelsus disuaikan dengan kehendak gereja lalu terbentuklah fahaman mekanisme yang menganggap Tuhan tidak penting lagi dalam kajian sains. Fahaman ini dikenali sebagai fahaman mekanisme yang meminggirkan peranan ketuhanan dalam peristiwa alam tabii. Fahaman ini dijuarai oleh Descartes. Namun pergolakan antara gereja dengan saintis terus berlaku sehingga sains benar-benar terpisah daripada agama. Ini menerbitkan fahaman sekularisme yang memisahkan akademik keseluruhannya daripada agama. Sekularisme disempurnakan oleh Charles Darwin dan Alfred Wallace pada pertengahan kurun ke-19. Darwinisme bukan sahaja memisahkan ketuhanan dengan sains, malahan menafikan kewujudan Tuhan secara total. Fahaman Darwinisme disokong pula oleh Marxisme di Rusia lalu fahaman positifisme yang menafikan metafizik secara keseluruhannya bertapak di kalangan saintis Barat. Fahaman ini menjadi dominan dalam kajian sains kurun ke-20 di seluruh dunia, termasuk negara kita. Fahaman ini mengisytiharkan hanya alam fizikal sahaja yang boleh dicerap dan diambil data yang boleh dianggap domain sains manakala sebarang pernyataan yang tidak dapat diambil datanya atau dianalisis tidak layak digelar sains. Hanya sains emperikal yang menentukan kebenaran mengikut fahaman kumpulan ini. Hanya sains penentu kebenaran, atau sainsisme, yang diperjuangan kumpulan positifis menyentuh seluruh sendi-sendi agama, khsususnya Islam yang diwahyukan oleh Pencipta Langit dan Bumi. Malang bagi saintis Muslim yang harus melupakan Tuhan-nya sekejap ketika ujikaji makmalnya, tetapi mengingatinya kembali ketika mengunjungi masjid kemudinnya. Inilah akibat perjuangan kesejagatan sainsisme tanpa hubungan dengan iman dan sistem nilai.

Perjalanan daripada maksud falsafah tabii yang bermatlamatkan ketuhanan kepada sains positifis yang menafikan ketuhanan, benar-benar menyaksikan betapa sains dipengaruhi sistem nilai generasi yang terlibat dengan ilmu berkenaan.

Apakah semua benda dapat dimatematikkan sepertimana yang dipercayai Pithagoras? Malah, kita pun tahu yang D´Alembert telah cuba mematematikkan Tuhan menerusi teori kebarangkalian. Dalam hemat D´Alembert, kebarangkalian mempercayai wujudnya Tuhan adalah lebih mungkin berbanding sebaleknya. Jika Tuhan—dalam fikiran—pun sudah dimatematikkan, maka apakah memang segalanya memang boleh dimatematikkan?

Pithagoras mementingkan aritemetik yakni ilmu tentang nombor. ”Number is everything” menjadi falsafah Pithagoras. Alam semesta diciptakan dalam kadar dan nisbah yang terbaik. Kadar dan nisbah ialah nombor. Mengkaji nisbah yang tersirat dalam ciptaan Ilahi merupakan matlamat kajian aritmetik di sisi Pithagoras atau pengikut yang datang selepasnya seperti Nikomakhus dan Ikhwan al-Safa. Di sisi pendokong mazhab Pithagoras, sesuatu pernyataan hanya tertakluk kepada dua nilai sahaja: benar atau palsu dan tiada di atara kedua-duanya.

Dalam fahaman positifisme, konsep korelasi yang berdasarkan kebarangkalian dan data rawak antara dua peristiwa diperkenalkan untuk menafikan dua nilai tegar benar-palsu yang diamalkan golongan yang berpegang kepada tautologi mantik. Tujuan korelasi di takrifkan untuk mengelak daripada konsep ketersebaban dua peristiwa yang berakhir dengan Sebab Terakhir yang ditafsirkan golongan falsafah tabii sebagai faktor Iradah Ilahi yang menentukan keterkaitan dua peristiwa itu. Lalu, untuk menolak prinsip ketersebaban, yakni untuk menolak konsep ketuhanan dalam matematik, golongan positifis menggunakan data statistik untuk menunjukkan bukan prinsip ketersebaban yang mengikat dua peristiwa, tetapi kerelasi yang ditunukkan oleh pekali keterkaitannya. Maka bebaslah matematik-fizik daripada prinsip ketersebaban di tangan Kroneker, Laplace dan angkatannya.

Namun untuk menujukkan ketertiban kejadian alam hanya bersandar kepada peluang kebarangkalian semata-mata seperti anggapan positifis Barat, tanpa konsep ketuhanan, maka statistik menujukkan kebarangkalian tesebut bernilai sifar. Sebagai contoh yang mudah, dalam lambungan 100 kali duit siling, peluang supaya gambar keris muncul secara bersiri dalam semua lambungan itu, ialah 1 dalam 2100 yang nilai hampir sifar yang bermaksud hampir mustahil. Bayangkan sel badan manusia yang mempunyai 3.5 bilion asid amino dalam pembentukan DNA yang tersusun indah, adakah mungkin disaandarkan kepada proses kebetulan untuk menyusun lingkaran struktur DNA yang menjadi identiti genetik manusia yang sungguh keompleks itu? Pengkaji yang ikhlas terpaksa akur bahawa peristiwa kebetulan dan rawak tidak mungkin membentuk susunan yang tersusun indah seperti keindahan perjalanan cakerawala dan jisim langit. D’Alambert atau sesiapa sahaja yang mampu berfikir mengakui kewujudan Tuhan dengan melihat kepada ketertiban dan keharmonian yang terdapat dalam semua peristiwa alam semesta.

Adakah semua peristiwa dapat dimatematikkan? Ketahuilah akal manusia pun ada batas kemampuannya. Deria pendengaran dan penglihatan pun ada had masing-masing. Matematik ialah ilmu akal manusia yang terhad. Tentulah matematik pun terhad permodelannya, lebih-lebih lagi yang melangkau ke alam metafizik. Benarlah kata-kata Ibn Khaldun bahawa akal manusia diibaratkan seperti neraca kecil yang tepat untuk menimbang emas yang halus, tetapi akan rosak binasa andainya neraca yang sama digunakan untuk menimbang sebuah bukit.

Principia Mathematica adalah antara buku besar dalam matematik. Buku karangan Russell dan Whitehead ini dianggap Principia Mathematica kedua setelah Newton. Hasrat mereka adalah untuk menyambung usaha Frege ini dan seterusnya membuktikan matematik itu logik? Apakah mereka berjaya?

Pada awal kurun ke-20, persoalan asas bangunan matematik menjadi tema perbincangan kerana kebenaran matematik sangat bergantung kepada aksiom asas. Bertrand Russell bersama rakannya termasuk North Whitehead percaya matematik boleh dibina dengan aksiom paling asas yang bertolak daripada teori set dan logik. Matematik ialah pernyataan logik dan logik membina matematik, menjadi tema aliran pemikiran kumpulan ini. Aliran Russell ini dikenali sebagai aliran logikisme dalam perkembangan kemudiannya. Aliran ini menjadi pencabar kepada dua aliran lain yang berkembang di Jerman dan Belanda iaitu aliran formalisme tajaan Hilbert dan aliran intuisisme tajaan Brouwer. Freege begitu taksub dengan gagasan matematiknya untuk mencari asas yang kuat dalam matematik, sebelum dianalisis lanjut oleh Russell. Mereka mencari hakikat matematik. Frege adalah seorang pendokong gagasan Hilbert. Teorem kelengkapan Hilbert menjadi aspirasi besar Frege. Teorem ini melafazkan kepercayaan mereka bahawa rantau matematik adalah lengkap dalam ertikata semua masalah ada penyelesaian yang boleh dibina berdasarkan sistem aksiom asas. Maka selama berpuluh tahun Frege membuktikan pelbagai teorem berdasarkan aksiom. Russell dengan landasan logikisme mengkritik pandangan ini dengan mengemukakan beberapa paradoks yang menolak gasasan Frege.

Perbincangan ketika itu tertumpu kepada konsep ketakterhinggaan, ketakterbilangan set nombor nyata, aksiom pilihan dan seumpamanya yang didapati tidak didasarkan di atas aksiom yang jelas dan dipersetujui. Setiap aksiom terdedah kepada kritikan. Jadi, bagaimanakah matematik boleh dibina di atas aksiom yang dipertikaikan? Dalam pernyataan matematik terdapat pelbagai paradoks, yakni pernyataan matematik yang bercanggah dengan sifat asas matematik. Setiap kumpulan dan aliran ingin membuktikan gagasan mereka paling sesuai untuk dijadikan asas matematik. Namun setiap aliran ada kekuatan dan kelemahan masing-masing apabila analisis matematik yang berkaitan dengan konsep penjenisan, ketakterhinggaan, set dalam set, dan seumpamanya dianalisis dalam kerangka pemikiraan setiap aliran. Tiada satu pun aliran yang dapat bertahan tanpa kritikan kumpulan aliran lawannya. Kumpulan logikisme Russell tidak terkecuali mendapat tentangan hebat dan ditunjukkan kelemahan demi kelemahan pada peringkat takrifan yang paling asas termasuk wujudnya paradoks dalam matematik. Binaan logikisme tidak dapat bertahan lama.

Ada cerita yang menarik apabila kita menyebut kumpulan logikisme. Kumpulan penyelidikan Scottish Mathematical Group yang berpegang kepada falsafah logikisme telah bersedia dengan modul matematik aliran Russell untuk diperkenalkan di United Kingdom yang diharapkan mentakrifkan matematik yang terbaik binaanya. Dasar matematik mengikut kumpulan ini ialah logik dan teori set. Pada masa yang sama, binaan Russell diisytiharkan runtuh di Eropah. Modul tersebut ditolak di sana, tetapi Kementerian Pelajaran Malaysia mengambil modul tersebut untuk dipekenalkan di sekolah menengah di negara ini dengan nama Matematik Moden pada tahun 1975. Aliran ini berakar umbi dalam pengajaran matematik negara ini walaupun tertolak di negara kelahirannya. Cukup menarik, andainya ada pengkaji yang melihat sejauh manakah ”kejayaan” Matematik Moden dalam pengajaran matematik di Malaysia. Ciri khusus matematik ini ialah pelajar dikehendaki menulis semua pernyataan matematik dalam bahasa set.

Russell pula memperkenalkan Paradoks Russell. Paradoks ini juga terkenal sebagai paradoks tukang gunting. Menurut paradoks ini, hanya terdapat seorang tukang gunting di dalam sebuah kampong. Dan, tukang gunting tersebut hanya mengunting mereka yang tidak mengunting sendiri rambutnya. Di sinilah timbulnya paradoksnya, kerana siapa pula yang mengunting rambut tukang gunting dalam kampong tersebut. Maka pertanyaannya, sejauh manakah paradoks Russell ini telah memberikan dampak pada falsafah?

Paradoks tukang gunting Russell sangat terkenal di Eropah. Demikian pula paradoks pustakawaan dengan katalognya. Pada zaman Yunani dulu ada paradoks Zeno. Morale cerita ini ialah kepalsuan pernyataan seseorang boleh dikesan menerusi paradoks yang wujud dalamnya. Dalam mahkamah misalnya, apabila seseorang penjenayah berbohong lalu merekacipta bukti palsu, maka peguam dengan mudah mengenali kepalsuannya. Bagi pelajar falsafah pula, kebenaran dapat dicerap menerusi pernyataan yang konsisten dan harmoni antara satu dengan lainnya tanpa kewujudan sebarang percanggahan atau paradoks. Pembuktian matematik yang terdapat paradoks tertolak. Dalam perbincangan falsafah aliran pemikiran Eropah setiap kumpulan sentiasa mencari paradoks bagi aliran lawan mereka, bagi menunjukkan aliran tersebut mempunyai kecacatan. Akhirnya semua aliran pemikiran Barat boleh ditunjukan terdapat paradoks di dalamnya seperti aliran logikisme, intuisisme, formalisme, instrumentalisme, behaviourisme, konstruktivisme dan seumpamanya. Ciri sepunya yang menolak metafizik menimbulkan pelbagai paradoks dalam aliran tersebut.

Paradoks bukan sahaja berguna untuk menilai kepalsuan pemikiran falsafah tetapi boleh pula digunakan untuk menilai pernyataan harian yang dikeluarkan dalam teknologi maklumat, bahkan dalam media cetak atau elektronik. Sebagai contoh, terdapat banyak paradoks dalam peristiwa 11 September 2001 yang menyatakan kumpulan Osama ben Laden merempuh bangunan WTC. Antara paradoks ialah bagaimanakah mungkin peristiwa itu disiarkan secara langsung ke seluruh dunia oleh CNN yang dirakam oleh pelbagai sudut kamera dalam kedudukan yang strategik? Merenungi paradoks ini pun sudah cukup bagi pelajar falsafah menolak dakwaan tersebut. Adakah anda pernah menyaksikan gambar kemalangan yang sedang berlaku dalam mana-mana kemalangan jalanraya? Bahkan akhbar biasanya menyiarkan gambar kemalangan yang telah berlaku, bukannya gambar yang belum atau sedang berlaku. Bayangkan berapa lamakah masa persediaan yang diperlukan untuk menyiarkan peristiwa secara langsung di media elektronik yang melibatkan pergambaran, hubungan satelit, dan badan penyiaran yang terlibat?

Matematik memang dikenali sebagai ratu sains, atau juga bahasa sains, sekaligus menunjukkannya mengatasi displin-displin sains yang lain. Namun, dalam matematik ini terpecah kepada beberapa mazhab. Ini termasuklah intuisisme, logikisme, formalisme, dll. Sebenarnya, apakah bezanya antara kesemua mazhab ini?

Secara ringkasnya, logikisme berpegang bahawa hakikat matematik ialah logik seperti perbincangan tadi. Formalisme menyatakan matematik ilmu yang formal, menggunakan simbolisme, aksiom yang konsisten dalam setiap pernyataan lema, teorem dan korolarinya. Intuisisme memberi sedikit ruang kepada aktiviti kemanusiaan dan pemikiran dalaman khususnya wujdan dan intuisi dalam formulasi matematik. Bagi pemerhati yang bukan daripada disiplin falsafah, agak sukar untuk melihat secara jelas perbezaan antara ketiga-tiganya. Perbezaan hanya berlaku apabila melibatkan konsep asas aksiom, ketakterhinggaan, induksi, penjenisan set, kesetaraan dan topologi kejiranan nombor nyata. Falsafah yang wujud dalam matematik kemudiannya mempengaruhi pula sains yang lain kerana matematik menjadi domain sepunya bagi bidang sains yang lain khususnya fizik. Rekabentuk ujikaji statistik yang diamalkan dalam data emperikal pula berkait rapat fahaman positifisme yang mendokong formalisme dan logiskisme. Russell sendiri menganut positifisme Carnap dalam aliran pemikiran sainsnya.

Dalam satu kajian, saya bersama rakan di Institut Penyelidikan Matematik, UPM tahun lepas, yang kami lakukan untuk melihat sambutan dan amalan aliran pemikiran tersebut di kalangan guru matematik di Malaysia, secara umumnya kami mendapati guru tersebut mengambil pendekatan formalisme dalam pengajarannya. Agak malang, bagi Malaysia yang mempunyai konsep kesepaduan ilmu seperti yang digariskan dalam Falsafah Pendidikan Negara, apabila formalisme yang meminggir sistem nilai menjadi aliran dominan bagi para guru negara. Mungkin ini berkaitan pula dengan kurikulum dan latihan intelek negara yang secara umumnya berkiblatkan formalisme-sekularisme Barat. Matematik diperkenal sebagai ilmu bebas-nilai, bebas budaya, ilmu yang abstrak, kering dan gersang. Namun ada sedikit maklumat yang mengembirakan kami betapa walaupun guru matematik negara mengamalkan formalisme dalam pengajaran, namun secara individu, guru tersebut ramai yang pecaya kepada Kuhnisme, satu bentuk aliran intuisisme dalam takrifan asalnya. Ini barangkali lahir dalam jiwa pendidik tersebut akibat budaya dan sistem nilai timur yang masih menjadi pegangan mereka walaupun menimba ilmu menerusi falsafah Barat. Apakah kajian kecil kami tidak memperlihatkan Malaysia memerlukan rombakan kembali kurikulum matematik ke dalam acuan sendiri yang sesuai dengan epistimeologi ilmu seperti yang terdapat dalam Falsafah Pendidikan Negara? Falsafah formalisme ternyata bercanggah dengan konsep kesepaduan ilmu amalan negara kita.

Yunani memanggil apeiron bagi takpermanai (infiniti). Kini, masalah ketakpemanai ini adalah salah satu masalah besar dalam matematik, terutamanya dalam mazhab intuisisme. Bahkan, ketakpemanai ini juga merupakan masalah fizik dan masalah falsafah sekaligus. Ahli matematik, Cantor sendiri pun ralat dengan permasalahan ini, dan kemudian cuba diselesaikan oleh Hilbert. Namun anehnya, dalam matematik, ketakpemanai ini tidak pernah dianggap nyata (real). Sebaleknya ia hanya dianggap dalam konteks keupayaan (potential). Persoalannya, mengapakah matematik itu mempertimbangkan sesuatu yang tidak nyata dalam penyelesaiannya?

Persoalan ketakterhinggaan menjadi persoalan yang tidak pernah tamat dalam perbincangan matematik, fizik, kimia, kosmologi bahkan dalam pemikiran kefalsafahan keseluruhannya. Ini kerana pemikiran manusia cuba membuat analogi kebenaran konsep tak terhingga kepada seperti kebenaran konsep yang terhingga. Konsep transitifan dan induksi yang menjadi perhujahan mereka ada banyak kelemahan apabila dimensi tak terhingga diambilkira. Koleksi titik yang mewakili nombor nyata yang tidak boleh bilang dalam selang [0, 1] setara secara hubungan satu ke satu dan ke seluruh selang [0, 2] melalui hbungan fungsi f(x) = 2x misalnya. Ini bermakna bilangan unsur dalam kedua-dua set adalah sama, sedangkan set pertama subset kepada set yang kedua. Secara analisis sifat ini benar, tetapi secara intuisi mampukah wujdan kita mengambarkannya dalam pemikiran? Ini turut bermaksud jumlah atom dalam sebiji beras bersamaan dengan jumlah atom dalam sebuah gunung. Contoh yang mudah ini pun sukar untuk diselesaikan kerana melibatkan persoalan keselanjaran, kesetaraan dan ketakterhinggaan. Persoalan inilah yang diperdebatkan oleh Hilbert, Brouwer, Cantor, Zermalo, Frankel dan angkatannya kerana terdapat banyak analogi sifat topologi garis nyata yang menujukkan ciri yang berbeza apabila dianalisis menerusi dua sudut yang berbeza. Persis perbincangan ini sebenarnya adalah juga persoalan atomisme yang dimulakan oleh Demokritus sejak zaman Yunani lagi, lalu disambung oleh Ibn Sina, Fakhru al-Razi, Descartes, Liebniz dan Newton. Persoalan ini sentiasa diperbaharui dalam setiap zaman tanpa kesudahan. Aliran pemikiran matematik cuba membuat abstrak tentang konsep yang tidak nyata semata-mata untuk menunjukkan aliran mereka mampu menembusi alam apeiron yang melayakkan aliran itu menjadi dasar pembinaan matematik terkini secara sejagat. Imaginasi fikiran manusia yang terbuka membuatkan mereka mempertimbangkan kes terhingga dan tak terhingga, dalam analisis matematik yang terdedah dengan pelbagai kelemahan sebab akal manusia itu pun terhad tabiinya.

Dalam analisis kompleks, satah komples yang dipetakan kepada permukaan Reimann dengan mengenalpasti titik tak terhingga diumpukkan kepada titik kutub, sama ada kutub selatan atau kutub utara, di atas sebuah sfera. Ini merupakan antara usaha untuk melihat persoalan apeiron itu ke ke atas permukaan yang terbatas tetapi tidak terhingga. Titik tersebut diangggap titik singularan yang tidak menunjukkan sifat seperti titik biasa di atas sebuah sfera. Percubaan ini lebih terdedah kepada persoalan falsafah berbanding analsis matematik. Kajian-kajian dalam teori singularan dan katastrofi kemudiannya didasarkan kepada perubahan mengejut yang melibatkan kuantititi genting yang biasanya melibatkan konsep ketakterhinggaan seperti peristiwa Big Bang dalam kosmologi atau Black Holes dalam astrofizik. Tujuan matematik diperluaskan kepada persoalan tak terhingga berkait rapat usaha permodelan matermatik kepada peristiwa alam yang berlaku secara mendadak, genting dan tidak mengikut hokum fizik yang biasa. Namun permodelan ini sentiada terdedah kepada kritikan pengkaji yang lain. Persoalan tersebut melibatkan faktor metafizik.

Geometri Bukan Euklidan pertama kali didakwa ditemui oleh Bolyai-Lobachevsky pada 1830. Itu memakan masa ribuan tahun setelah penemuan Geometri Euklid. Sebenarnya, apakah hubungan antara geometri--sama ada Euklid mahu pun Bukan Euklid--terhadap falsafah?

Inilah tabii falsafah yang bergantung kepada akal pemikiran manusia. Pada suatu ketika geometri Euklid dianggap benar secara mutlak tetapi dibuktikan tidak benar apabila dimensi yang melibatkan konsep ketakterhinggaan diambil kira. Mengikut geometri Euklid jumlah sudut sebuah segitiga ialah 180 darjah kerana menganggap sempadan segitiga tersebut sebagai garis lurus, sedangkan mengikut geometri Bolyai-Labochevskii, garis lurus sebenarnya tidak wujud pun, kecuali dalam dimensi sederhana kelihatannya sebuah bulatan yang besar seolah-olah garis lurus. Satah permukaan bumi yang cembung pun dalam pandangan mata merupakan dataran rata. Menganggap permukaan bumi sebagai rata hanya benar untuk tujuan kejuruteraan setempat sahaja tetapi tidak benar lagi apabila penerbangan pesawat jarak jauh misalnya, sebab hakikatnya permukaan bumi melengkung sifatnya. Apatah lagi andainya pengembaraan antara galaksi diambilkira. Kebenaran geometri Euklid sangat relatif. Bumi yang permukaannya yang melengkung itu pula hakikatnya, merupakan satu titik sahaja dalam skema cakerawala keseluruhanya. Inilah konsep kerelatifan dan kerangka rujukan. Skema geometri Labochevskii menganggap semua garis berbentuk bulatan, lalu akibat langsungnya jumlah sudut dalam sebuah segitiga lebih daripada 180 darjah. Seorang lagi ahli matematik yang bernama Reimann turut mentakrifkan geometrinya berdasar aksiomnya sendiri dan dengan deduksi beliau menuunjukkan jumlah sudut dalam segitiga kurang daripada 180 darjah. Walaupun kedua-dua hasil tersebut berbeza tetapi kedua-dua geometri Labochevskii dan Reimann benar relatif terhadap aksiom masing-masing. Itulah tabii matematik.

Bayangkan seutas tali yang panjang diregangkan antara dua titik. Dari jauh kelihatan tali tersebut hanyalah satu garis lurus yang dianggap geometri Eulid mempunyai dimensi satu. Akan tetapi apabila kita menghampiri perlahan-lahan tali tersebut, kita akan kelihatan tali mempunyai mempunyai lebar juga, yang bererti ia mempunyai luas permukaan. Luas mempunyai dua dimensi. Akan tetapi apabila kita hampirinya lagi, kita dapati ia bukan sahaja mempunyai luas, tetapi mempunyai isipadu juga kerana rupanya yang sebenar seperti selinder yang mempunyai tiga dimensi. Andainya kita menghampirinya lebih dekat dan dekat, kita akan memasuki dunia atom dan sub-atom yang tentunya dimensinya bertambah dan bertambah. Inilah hakikat kebenaran relatif. Kebenaran sifat geometri itu sangat bergantung di mana kedudukan pencerapnya. Bahkan ahli fizik kuantum telah menemui 10 dimensi dalam alam semesta nyata kita tinggal ini, 4 dimensinya dapat disaksikan tetapi 6 dimensi lagi tersembunyi dalam alamnya tersendiri. Subhanallah. Segera terlintas di fikiran saya akan ayat ke-2 Surah al-Fatihah: ”Segala pujian bagi Tuhan Sekalian Alam”. Sekalian Alam meliput alam syahadah yang dapat disaksikan indera dan alam lain yang tersembunyi, tidak mampu dicerap indera. Merenungi contoh ini kita bertemu bukan sahaja kesepaduan komponen falsafah seperti matematik dengan sains, tetapi melangkaui ke alam metafizik dan kemutlakan wahyu Ilahi.

Kurt Gödel adalah nama besar dalam matematik. Ia terkenal dengan kaedah pemetaan dalam matematik, dan cuba membuktikan kenyataan metamatematik. Namun, tidak ramai yang memahami sumbangannya, yang kini dikatakan sudah dikembangkan dalam banyak bidang lain. Sebenarnya, apakah yang cuba diselesaikan oleh Gödel, dan apakah pengaruh penemuannya terhadap bidang-bidang lain?

Pada tahun 1931, Kurt Gödel mengemukakan teorinya yang menyatakan bahawa terdapat rantau dalam matematik tempat yang mengumpulkan masalah yang logik tetapi kita tidak dapat membuktikan atau menyahbuktikannya. Ahli matematik harus mengakui wujudnya masalah berkecuali yang tidak dapat diselesaikan oleh mantik. Gödel menulis kritikannya terhadap Principia mathematica Russell dan Northwhitehead dalam karyanya Uber formal unentschiedbase satcze der Principia mathematica und verwandter systeme. Beliau mebuktikan beberapa teorem yang menunjukkan kawasan berkecuali memang wujud dan tabii matematik di situ tidak dapat dipastikan sama ada wujudnya penyelesaian atau tidak. Ini bermakna mantik tidak boleh dijadikan landasan hakiki matematik. Teorem pertama Gödel yang menyatakan prinsip tersebut adalah “jika set teori menerusi sistem aksiom tekal, maka terdapat teorem yang tidak dapat dipastikan sama ada boleh dibukti atau boleh dinyahbuktikan”.Teorem kedua Gödel dalam arah yang sama berbunyi “Tidak wujud sebarang prosedur yang membina yang mungkin membuktikan bahawa teori aksiom adalah tekal”.

Pandangan Gödel tidak digemari oleh ramai pemikir yang lain kerana mereka menganngap bahawa semua masalah ada penyelesaiannya. Kedua-dua teorem tersebut mencabar gagasan Hilbert yang menganggap tiada rantau yang masalah matematik tidak boleh dielesaikan menerusi sistem aksiom. Gagasan Hilbert tidak mungkin menjadi kenyataan. Terdapat usulan matematik yang benar tetapi tidak dapat ditunjukkan usulan tersebut benar dan ini adalah intisari penemuan Gödel yang dinamai undecidable principle atau prinsip ketidaktentuan Gödel.

Pengaruh pemikiran Gödel boleh dilihat dalam fizik juga. Dalam mekanik kuantum ada pemahaman yang serupa apabila Heisenberg mengistiyarkan prinsip ketidaktentuannya berkaitan dengan kebarangkalian kedudukan elektron bagi sesuatu atom. Prinsip ini menyatakan halaju dan kedudukan electron tidak dapat dipastikan secara serentak. Perbincangan prinsip ini pun kemudiannya menjadi topik yang hangat kerana mengikut Einstein Tuhan mengetahui segala-galanya dengan tepat sama ada halaju atau kedudukannya. Yang tidak tahu hanyalah Heisenberg kerana “God doesnot play dice” menurut Einstein. Maksud beliau bahawa ilmu Ilahi mutlak sifatnya tidak bergantung kepada kebarangkalian. Ciptaan Ilahi mengikut nisbah dan kadar yang tepat.

Évariste Galois mati ketika berusia 20 tahun. Sebelum meninggal, ia sempat menulis surat lepada rakannya tentang penemuan-penemuannya yang tidak dihargai sewaktunya hidupnya. Setelah mati dalam pertarungan satu-lawan-satu merebut wanita, teori kumpulannya kemudian mendapat sambutan. Apakah teorinya ini turut bersentuhan dengan falsafah?

Galois mengkaji teori kumpulan yang berkaitan dengan pensifar suatu polinomial. Teori ini menerbitkan teori kumpulan permutasi dan kumpulan bersimetri yang boleh diperluaskan terhadap medan tertentu. Galois berjaya menganalisis polinomial khsuusnya yang berdarjah kurang daripada 5 untuk dijelmakan pensifarnya ke dalam bentuk teori kumpulan lalu dicari hubungan antara polinomial dengan takrifan kumpulan tersebut. Perluasan medan ditakrifkan dalam konteks teori ini yang ada kaitannya pula sub-kumpulan yang terbit daripada ciri punca polinomial. Tiada rumus khusus dapat diberikan bagi polinomial berdarjah 5 seperti yang dapat dianalisis seperti persamaan kuadratik. Teori ini dikembangkan untuk kes yang lebih umum dan didapati kemudiannya banyak aspek gunaan boleh diterbitkan daripada teori ini.

Perlu diingati bahawa perkembangan kajian tentang polinomial sangat lewat berlaku di Eropah. Aljabar sebenarnya terasas di tangan al-Khawarizmi sejak kurun ke-9 yang menganalisis persamaan kudratik. Umar Khayyam menganalisis persamaan kubik dalam kurun ke-11 dan Sama’wal mengkaji punca polinomial dalam kurun ke-12. Al-Kasyi dalam kurun ke-14 mencari baki polinomial apabila dibahagi dengan polinomial yang lain. Hasil kajian al-Kasyi dikenali di Eropah dengan nama teori Ruffini-Horner. Al-Quhi menganalisis persamaan berdarjah 4 dalam kurun ke-11 dengan kaedah geometri. Sharafuddin al-Tusi mengkaji polinomial berdarjah 3 menerusi kaedah kalkulus dalam kurun ke-13. Di India Madhava mengkaji siri tak terhinga dalam kurun ke-14. Di China pula, Zhu Shijie mempertimbangkan persamaan khusus dengan darjah-10 dalam kurun ke-13. Pengembangan polinomial dikaji secara matematik dan falsafah sejak Umar Khayyam kerana geometri dan aljabar dilihat dalam epistemologi falsafah oleh kebanyakan pemikir terdahulu. Fermat, Euler, Gauss dan Galois menyambutnya di Eropah dalam kurun-kurun yang lewat.

Ada banyak teori yang dikembangkan secara teori pada awal perkembangannya, namun aspek gunaan hanya berlaku pada zaman mutakhir dalam pelbagai bidang gunaan dan teknologi. Kita perlu mengambil iktibar daripada perkembangan teori kumpulan ini, kerana teknologi tidak datang secara mendadak, bahkan teknologi datang dari pemikiran falsafah dan kajian fundamental. Teori kuadratik dan algoritma al-Khawarizmi, yang kajiannya sambung menyambung hingga ke zaman Galois mempunyai sumbangan secara kualitatif dan kuantitatif menyeberangi zaman dan tamadun. Akhirnya pemikiran tersebut menjelma dalam teknologi terkini. Sesungguhnya tanpa hulu, mana wujud kualanya?

Akhir sekali, seperti yang ditunjukkan, matematik adalah melibatkan aspek-aspek falsafah juga. Maka, sudah tentu matematik tidak terbatas dalam aritmetik dan geometri saja sepertimana yang lazim difahami. Justeru, apakah takrif yang paling tepat untuk matematik?

Matematik merupakan koleksi ilmu yang luas di bawah keluarga falsafah. Aritmetik dan geometri hanyalah dua komponen popular matematik. Cabang matematik yang lain termasuklah mantik, astronomi, muzik, trigonometri, dan analisis. Pelbagai takrifan diberikan untuk matematik, namun dalam perkembangan kemudian, muncul cabang matematik yang lain yang tidak termasuk dalam takrifan. Masyarakat awam memahami matematik sebagai ilmu pengiraan, sedangkan pengiraan hanyalah melibatkan aritmetik sahaja yang merupakan komponen kecil matematik. Penghujahan dan penakulan mantik atau analisis dan abstraksi merupakan unsur asas matematik tetapi bukan berbentuk pengiraan. Bahkan matematik melibatkan irama dan kesenian seperti muzik. Penulis Islam ada yang menulis matematik dalam bentuk syair seperti al-Urjuzah al-Yasaminiyyah karya masyhur ahli aljabar Moroko Ibn Yasamin.
Kecelaruan tentang taktrif matematik berkait pula dengan sistem nilai pentakrifnya yang melihat matematik menerusi sudut pandangnya. Barat menganggap matematik sebagai ilmu abstrak yang menganalisis proposisi kuantitatif menerusi pengoperasi mantik, sedangkan matematik di sisi ilmuwan silam dilihat sebagai perantaraan sains dan metafizik yang sarat nilai, sama ada dari segi kualitatif, kuantitatif atau gabungan antara kedua-duanya. Perhatikan komponen falsafah mengikut ilmuwan silam:

Sains tabii: sains hayat, fizik, kimia, kosmologi, geologi, geografi, perubatan, farmakologi, botani, zoologi, optik, kaji cuaca, kejuruteraan dan seumpamanya.

Matematik: aritmetik, geometri, mantik, astronomi, aljabar, trigonometri, muzik, mekanik, dinamik, dan seumpamanya.

Metafizik: ketuhanan, kalam, roh, jiwa, akal, takdir, akhirat, kebangkitan, malaikat, akhlak, tatasusila, sistem nilai, psikologi, kebahagiaan dan seumpamanya. Kesukaran pentakrifan matematik berkait rapat dengan kesukaran pentakrifan falsafah yang menjadi induk matematik. The Cambridge Dictionary of Philosophy (suntingan Robert Audi, 1995) misalnya, tidak memuatkan masukan falsafah untuk ditakrifkan sedangkan buku ini mentakrifkan semua istilah dalam ilmu falsafah. Oleh yang demikian, ramai pula yang berpendapat, bahawa yang ditakrifkan komponen falsafah termasuk matematik adalah sudut-sudut keutamaan yang diminati oleh pentakrifnya sahaja. Metafizik, epistemologi, penaakulan mantik, dan etika serta sistem nilai adalah antara perkara asas dalam falsafah. Oleh kerana sistem nilai dan etika menjadi perkara penting dalam bidang berkenaan, maka takrifan falsafah berubah dan berbeza di kalangan masyarakat dan peradaban yang berlainan berdasarkan budaya pemikiran yang dianuti. Akan tetapi ada sudut takrifan falsafah mempunyai pengertian yang sejagat seperti kecintaan ilmu, kebenaran, akhlak, dan sistem metafizik menerusi kewarasan akal yang jitu. Dengan perbezaan aspek sistem nilai, lahirlah takrifan yang berlainan mengikut kebudayaan ilmu masing-masing. Dengan ini sebagai komponen falsafah, matematik perlulah mempunyai unsur kuantitatif, kualitatif, abstraksi, analisis dan sistem nilai. Barat aliran formalisme, logikisme dan positifisme secara jelas menafikan sistem nilai dalam matematik. Takrifan matematik bagi Barat tentulah berbeza dengan takrifan kita, walaupun ada domain sepunya yang berbentuk sejagat. Saya tidak dapat mentakrifkan ilmu ini. Apakah pula takrifan anda?


[1] Wan Zah Wan Ali, Mat Rofa Ismail, Rohani Ahmad Tarmizi, Ramlah Hamzah, Habsah Ismail dan Majid Konting). “Kefahaman Guru Tentang Nilai Matematik”. Jurnal teknologi (E) UTM (2005), No.43, 45-62.

[2] IQ = Intelegent Quotient; ESQ = Emotional and Spiritual Quotient.
[3] Kedudukan UK dan Malaysia disertakan sebagai perbandingan. Cukup menerik untuk memerhatikan negara United Kingdom (UK). Dalam IMO mereka menghantar satu pasukan sahaja yang mewakili negera itu kerana mereka lemah dalam bidang tersebut. Dalam pentandingan bola sepak peringkat antarabangsa pula, mereka menghantar tiga pasukan ialtu England, Wales dan Scotland, kerana mereka kuat dalam sukan tersebut. Tiga pasukan mewakili satu negara!
[4] Kementeriaan Pelajaran Malaysia diberitakan menggunakan modul matematik yang disuaikan daripada negara berteknologi tinggi termasuk Finland. Finland yang mengabaikan ESQ dalam pendidikan turut mencatatkan jumlah penduduk bunuh diri yang tertinggi di dunia. [4] Para pembaca yang berminat tentang penyelidikan ini silalah rujuk jurnal Suicidology 2002, jilid 7, bilangan 2 dalam makalah yang bertajuk A global perspective in epidemiology of suicide.

[5] Matematik DNA ini dibentangkan oleh Prof Thomas Head dari Universiti Binghimpton USA di Institut Penyelidikan Matematik Malaysia (Inspem) pada 30 Julai 2004 dengan tajuk seminarnya Writing, Reading and Computing in Water: DNA Adventures. Lihat Laporan Seminar Julai 2004 (Inspem, 2004). Lihat juga pembentangan yang bertajuk Mathematical Biologists or Biological Mathematicians? Bridging the Divide oleh Dr Mohd Azmuddin Abdullah dalam Laporan Tahunan Inspem (2003) tentang penyelidikan yang mengaitkan kajian DNA dengan permodelan matematik, stokastik, dan similasi komputer.
[6] Einstein tidak pernah menyatakan secara jelas tentang konsep ketuhanan anutannya tetapi kajian sejarah hidupnya menunjukkan bahawa ia bersimpati dengan konsep ketuhanan limpahan emanasi Yunani atau konsep Pantheisme. Untuk perbincangan tentang teori Malapetaka pula, sila rujuk buku T. Poston dan I. Steward Castrophe Theory and its Applications (Pitman, 1978) dan teori singularan rujuk buku M.Golubitsky dan D.Schaeffer Singularities and Groups in Bifurcation Theory (Springer Verlag, 1985). Kedua-dua buku ini menjadi kenangan indah penulis ini, kerana inilah rujukan penting dalam kajian untuk ijazah PhD beliau di University of Southampton (1985-86) di bawah Prof D.R.J Chillingworth, yang tidak disempunakan kerana sakit yang lama, lalu menukar haluannya ke Bahagian Sejarah dan Falsafah, Universiti Malaya (1989) di bawah Prof Emeritus Datok Dr Osman Bakar.
[7] Selain itu, dalam hubungan yang sama sebuah monograf berupa perincian tentang projek Matemadesa turut dilaporkan dalam Pembangunan Matematik Sekolah Menengah Menerusi Falsafah Matemadesa (2002) oleh pengarang yang sama. Penulis ini turut menyumbangkan tajuk Ungkapan Aljabar dan Persamaan Linear dalam monograf tersebut.
[8] Etnosains bermaksud sains yang diasas kepada budaya dan etnik tertentu.
[9] Lihat monograf yang sama hal.9.
[10] Soalan ini disesuaikan daripada buku al-Fakhri karya Abu Bakar al-Karaji, ahli aljabar Muslim kurun ke-11. Contoh masalah aljabar Islam yang lain, sila rujuk buku penulis Sejarah Aritmetik dan Aljabar Islam (UPM, 1995).
[11] Mantan Perdana Menteri ketika awal memegang jawatannya (Oktober 2003) pernah menyebut dalam pidatonya bahawa Malaysia perlulah membina pembangunan software bersama hardware secara serentak dan sepadu. Software bermaksud pembangunan rohani, manakala hardware bermaksud pembangunan fizikal. Landasan ini sudah cukup untuk menggerakkan kurikulum bersepadu di semua peringkat pengajian. Menurut PM lagi, tanpa ciri etika, Malaysia akan mempunyai kelas pertama dalam infrastukur, tetapi mempunyai pemikiran minda kelas ketiga.
[12] Lihat buku terbitan Siri Pelandok yang dihasilkan oleh Prof Shaharir seperti Teknik Pengamiran Fungsi Satu Pemboleubah (1985), Pembeza dan Tensor atas Manifold (2000), Kamiran Lebesgue: Batas-Batas Kejayaannya (2002) dan Dinamik Sebutir-Dua Zarah Klasik: Penjana Sains Matematik, Peguambela dan Penjana Nilai serta Kontroversi Sepanjang Zaman (2004). Buku yang terakhir memperlihatkan model pendekatan kesepaduan falsafah-sejarah yang menarik.
[13] Lihat Shaharir (2004) hal.242 – 249.
[14] Saudara Aqil Fitri wakil Asasi (Akedemi Sains Islam Malaysia) mengemukakan soalan kepada saya berkaitan falsafah matematik, dahulu dan sekarang, untuk siaran majalah Kesturi November 2008 (edisi internet). Pembaca yang budiman boleh merujuk secara langsung internet yang beralamat www.kesturi.net untuk maklumat lanjut. Tersirat dalam wawancara ini ialah pandangan saya maksud kesepaduan IQ dan ESQ yang tersebut.